题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
八年级数学填空题一般
题目
如图,已知△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},直角∠EPF\angle EPF的顶点PP是线段BCBC中点,两边PEPE、PFPF分别交ABAB、ACAC于点EE、FF,当∠EPF\angle EPF在△ABC\triangle ABC内绕顶点PP旋转时（点EE不与AA、BB重合）,给出以下四个结论:①BE=AFBE=AF；②△EPF\triangle EPF是等腰直角三角形；③S△ABC=2S四边形AEPFS_{\triangle ABC}=2S_{四边形AEPF}；④EF⩾APEF\geqslant AP.其中正确的结论有______.(请将正确的答案序号填入横线上).(请将正确的答案序号填入横线上)
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

∵AB=AC\because AB=AC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，PP是线段BCBC中点，
∴∠BPA=∠CPA=∠B=∠C=45∘\therefore \angle BPA=\angle CPA=\angle B=\angle C=45^{\circ}，∠APB=∠APC=90∘\angle APB=\angle APC=90^{\circ}，AP=BP=CPAP=BP=CP，S△ABC=2S△ABPS_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABP}
∵∠BPA=∠EPF=90∘\because \angle BPA=\angle EPF=90^{\circ}，
∴∠BPA−∠APE=∠EPF−∠APE\therefore \angle BPA-\angle APE=\angle EPF-\angle APE，
∴∠BPE=∠APF\therefore \angle BPE=\angle APF，
∴△BPE\therefore \triangle BPE≌△APF(ASA)\triangle APF\left(ASA\right)，
∴BE=AF\therefore BE=AF，故①正确；
∵△BPE\because \triangle BPE≌△APF\triangle APF，
∴PE=PF\therefore PE=PF，
∴△EPF\therefore \triangle EPF是等腰直角三角形，故②正确；
∵△BPE\because \triangle BPE≌△APF\triangle APF，
∴S△BPE=S△APF\therefore S_{\triangle BPE}=S_{\triangle APF}，
∵S四边形AEPF=S△APF+S△AEP\because S_{四边形AEPF}=S_{\triangle APF}+S_{\triangle AEP}，
∴S四边形AEPF=S△BPE+S△AEP=S△ABP\therefore S_{四边形AEPF}=S_{\triangle BPE}+S_{\triangle AEP}=S_{\triangle ABP}，
∵S△ABC=2S△ABP\because S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABP}，
∴S△ABC=2S四边形AEPF\therefore S_{\triangle ABC}=2S_{四边形AEPF}，故③正确；
∵△EPF\because \triangle EPF是等腰直角三角形，
∴EF=PE2+PF2=2PE\therefore EF=\sqrt{P{E}^{2}+P{F}^{2}}=\sqrt{2}PE，
当PE\’⊥ABPE\’\bot AB时，如图所示：
此时，△AE\’P\triangle AE\’P是等腰直角三角形，
∴AP=E′P2+E′A2=2AE\’\therefore AP=\sqrt{E′{P}^{2}+E′{A}^{2}}=\sqrt{2}AE\’，
此时EF=APEF=AP，
当PEPE，ABAB不垂直时，2PE＞AP\sqrt{2}PE＞AP，
即：EF>APEF \gt AP，
综上所述：EF⩾APEF\geqslant AP，故④正确；
故答案为：①②③④.

解析

∵AB=AC\because AB=AC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，PP是线段BCBC中点，
∴∠BPA=∠CPA=∠B=∠C=45∘\therefore \angle BPA=\angle CPA=\angle B=\angle C=45^{\circ}，∠APB=∠APC=90∘\angle APB=\angle APC=90^{\circ}，AP=BP=CPAP=BP=CP，S△ABC=2S△ABPS_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABP}
∵∠BPA=∠EPF=90∘\because \angle BPA=\angle EPF=90^{\circ}，
∴∠BPA−∠APE=∠EPF−∠APE\therefore \angle BPA-\angle APE=\angle EPF-\angle APE，
∴∠BPE=∠APF\therefore \angle BPE=\angle APF，
∴△BPE\therefore \triangle BPE≌△APF(ASA)\triangle APF\left(ASA\right)，
∴BE=AF\therefore BE=AF，故①正确；
∵△BPE\because \triangle BPE≌△APF\triangle APF，
∴PE=PF\therefore PE=PF，
∴△EPF\therefore \triangle EPF是等腰直角三角形，故②正确；
∵△BPE\because \triangle BPE≌△APF\triangle APF，
∴S△BPE=S△APF\therefore S_{\triangle BPE}=S_{\triangle APF}，
∵S四边形AEPF=S△APF+S△AEP\because S_{四边形AEPF}=S_{\triangle APF}+S_{\triangle AEP}，
∴S四边形AEPF=S△BPE+S△AEP=S△ABP\therefore S_{四边形AEPF}=S_{\triangle BPE}+S_{\triangle AEP}=S_{\triangle ABP}，
∵S△ABC=2S△ABP\because S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABP}，
∴S△ABC=2S四边形AEPF\therefore S_{\triangle ABC}=2S_{四边形AEPF}，故③正确；
∵△EPF\because \triangle EPF是等腰直角三角形，
∴EF=PE2+PF2=2PE\therefore EF=\sqrt{P{E}^{2}+P{F}^{2}}=\sqrt{2}PE，
当PE\’⊥ABPE\’\bot AB时，如图所示：
此时，△AE\’P\triangle AE\’P是等腰直角三角形，
∴AP=E′P2+E′A2=2AE\’\therefore AP=\sqrt{E′{P}^{2}+E′{A}^{2}}=\sqrt{2}AE\’，
此时EF=APEF=AP，
当PEPE，ABAB不垂直时，2PE＞AP\sqrt{2}PE＞AP，
即：EF>APEF \gt AP，
综上所述：EF⩾APEF\geqslant AP，故④正确；
故答案为：①②③④.

AI 自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →