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八年级数学填空题一般
题目
如图11,在△ABC\triangle ABC中,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},AB=ACAB=AC,AD⊥BCAD\bot BC于点DD,∠EPF=90∘\angle EPF=90^{\circ},点PP在ADAD上,射线PEPE,PFPF分别交ABAB,ACAC两边于EE,FF两点,

(1)(1)当点PP与点DD重合时,如图22所示,直接写出:
①AFAF与BEBE之间的数量关系:______；
②AE+AFAE+AF与APAP之间的数量关系:______；
(2)(2)当点PP在线段ADAD上时（不与端点重合）,如图11所示,则AE+AFAE+AF与APAP之间的数量关系:______.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)\left(1\right)\left(1\right)①AF=BEAF=BE，理由如下：
∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴∠B=∠C=45∘\therefore \angle B=\angle C=45^{\circ}，
∵AB=AC\because AB=AC，AD⊥BCAD\bot BC，
∴∠ADB=90°，AD=CD=BD=12BC\therefore ∠ADB=90°，AD=CD=BD=\frac{1}{2}BC，
∴∠DAC=45∘\therefore \angle DAC=45^{\circ}，
∵∠EPF=90∘\because \angle EPF=90^{\circ}，
∴∠ADE+∠ADF=90∘\therefore \angle ADE+\angle ADF=90^{\circ}，
∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=90∘\because \angle ADE+\angle BDE=\angle ADB=90^{\circ}，
∴∠BDE=∠ADF\therefore \angle BDE=\angle ADF，
在△BDE\triangle BDE和△ADF\triangle ADF中，
{∠B=∠DAFBD=AD∠BDE=∠ADF\left\{\begin{array}{l}∠B=∠DAF\\ BD=AD\\∠BDE=∠ADF\end{array}\right.，
∴△BDE\therefore \triangle BDE≌△ADF(ASA)\triangle ADF\left(ASA\right)，
∴BE=AF\therefore BE=AF；
②AE+AF=2APAE+AF=\sqrt{2}AP，理由如下：
∵BE=AF\because BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB\therefore AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠B=45∘\because \angle B=45^{\circ}，∠ADB=90∘\angle ADB=90^{\circ}，
∴AB=2AP\therefore AB=\sqrt{2}AP，
∴AE+AF=2AP\therefore AE+AF=\sqrt{2}AP，
(2)AE+AF=2AP(2)AE+AF=\sqrt{2}AP，理由如下：
过点PP作PQPQ∥BCBC交ACAC于点QQ，

∴∠APQ=90∘\therefore \angle APQ=90^{\circ}，∠AQP=45∘\angle AQP=45^{\circ}，
∴AP=PQ，AQ=2AP\therefore AP=PQ，AQ=\sqrt{2}AP，
∵AD=BD\because AD=BD，∠ADB=90∘\angle ADB=90^{\circ}，
∴∠EAP=45∘\therefore \angle EAP=45^{\circ}，
∵∠EPF=90∘\because \angle EPF=90^{\circ}，
∴∠EPA+∠APF=90∘\therefore \angle EPA+\angle APF=90^{\circ}，
∵∠APF+∠FPQ=∠APQ=90∘\because \angle APF+\angle FPQ=\angle APQ=90^{\circ}，
∴∠EPA=∠FPQ\therefore \angle EPA=\angle FPQ，
在△EPA\triangle EPA和△FPQ\triangle FPQ中，
{∠EAP=∠FQPAP=PQ∠EPA=∠FPQ\left\{\begin{array}{l}∠EAP=∠FQP\\ AP=PQ\\∠EPA=∠FPQ\end{array}\right.，
∴△EPA\therefore \triangle EPA≌△FPQ(ASA)\triangle FPQ\left(ASA\right)，
∴AE=FQ\therefore AE=FQ，
∴AE+AF=FQ+AF=AQ\therefore AE+AF=FQ+AF=AQ，
∵AQ=2AP\because AQ=\sqrt{2}AP，
∴AE+AF=2AP\therefore AE+AF=\sqrt{2}AP.

解析

(1)(1)\left(1\right)\left(1\right)①AF=BEAF=BE，理由如下：
∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴∠B=∠C=45∘\therefore \angle B=\angle C=45^{\circ}，
∵AB=AC\because AB=AC，AD⊥BCAD\bot BC，
∴∠ADB=90°，AD=CD=BD=12BC\therefore ∠ADB=90°，AD=CD=BD=\frac{1}{2}BC，
∴∠DAC=45∘\therefore \angle DAC=45^{\circ}，
∵∠EPF=90∘\because \angle EPF=90^{\circ}，
∴∠ADE+∠ADF=90∘\therefore \angle ADE+\angle ADF=90^{\circ}，
∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=90∘\because \angle ADE+\angle BDE=\angle ADB=90^{\circ}，
∴∠BDE=∠ADF\therefore \angle BDE=\angle ADF，
在△BDE\triangle BDE和△ADF\triangle ADF中，
{∠B=∠DAFBD=AD∠BDE=∠ADF\left\{\begin{array}{l}∠B=∠DAF\\ BD=AD\\∠BDE=∠ADF\end{array}\right.，
∴△BDE\therefore \triangle BDE≌△ADF(ASA)\triangle ADF\left(ASA\right)，
∴BE=AF\therefore BE=AF；
②AE+AF=2APAE+AF=\sqrt{2}AP，理由如下：
∵BE=AF\because BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB\therefore AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠B=45∘\because \angle B=45^{\circ}，∠ADB=90∘\angle ADB=90^{\circ}，
∴AB=2AP\therefore AB=\sqrt{2}AP，
∴AE+AF=2AP\therefore AE+AF=\sqrt{2}AP，
(2)AE+AF=2AP(2)AE+AF=\sqrt{2}AP，理由如下：
过点PP作PQPQ∥BCBC交ACAC于点QQ，

∴∠APQ=90∘\therefore \angle APQ=90^{\circ}，∠AQP=45∘\angle AQP=45^{\circ}，
∴AP=PQ，AQ=2AP\therefore AP=PQ，AQ=\sqrt{2}AP，
∵AD=BD\because AD=BD，∠ADB=90∘\angle ADB=90^{\circ}，
∴∠EAP=45∘\therefore \angle EAP=45^{\circ}，
∵∠EPF=90∘\because \angle EPF=90^{\circ}，
∴∠EPA+∠APF=90∘\therefore \angle EPA+\angle APF=90^{\circ}，
∵∠APF+∠FPQ=∠APQ=90∘\because \angle APF+\angle FPQ=\angle APQ=90^{\circ}，
∴∠EPA=∠FPQ\therefore \angle EPA=\angle FPQ，
在△EPA\triangle EPA和△FPQ\triangle FPQ中，
{∠EAP=∠FQPAP=PQ∠EPA=∠FPQ\left\{\begin{array}{l}∠EAP=∠FQP\\ AP=PQ\\∠EPA=∠FPQ\end{array}\right.，
∴△EPA\therefore \triangle EPA≌△FPQ(ASA)\triangle FPQ\left(ASA\right)，
∴AE=FQ\therefore AE=FQ，
∴AE+AF=FQ+AF=AQ\therefore AE+AF=FQ+AF=AQ，
∵AQ=2AP\because AQ=\sqrt{2}AP，
∴AE+AF=2AP\therefore AE+AF=\sqrt{2}AP.

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