如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$,$\angle EPF=90^{\circ}$,点$P$在$AD$上,射线$PE$,$PF$分别交$AB$,$AC$两边于$E$,$F$两点,

$(1)$当点$P$与点$D$重合时,如图$2$所示,直接写出:
①$AF$与$BE$之间的数量关系:______；
②$AE+AF$与$AP$之间的数量关系:______；
$(2)$当点$P$在线段$AD$上时（不与端点重合）,如图$1$所示,则$AE+AF$与$AP$之间的数量关系:______.