（1）①如图$1$，

设$AB$与$CE$交于点$O$，
$\because \angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，$AB=AC$，$AD=AE$.
$\therefore \angle BAC+\angle BAE=\angle DAE+\angle BAE$，
$\therefore \angle CAE=\angle BAD$，
$\therefore \triangle CAE$≌$\triangle BAD\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE$，$\angle ACE=\angle ABD$，
$\because \angle BOF=\angle AOC$，
$\therefore \angle BFO=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore BD\bot CE$，
故答案为：相等，垂直；
②如图$2$，

连接$AM$，
由①知，
$\angle ACE=\angle ABD$，$CE=BD$，
$\because M$、$N$分别是$BD$与$CE$的中点，
$\therefore CN=\frac{1}{2}CE，BM=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore CN=BM$，
$\because AC=AB$，
$\therefore \triangle ACN$≌$\triangle ABM\left(SAS\right)$，
$\therefore AN=AM$，$\angle CAN=\angle BAM$，
$\therefore \angle CAN-\angle BAN=\angle BAM-\angle BAN$，
$\therefore \angle MAN=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ANM=\angle AMN=45^{\circ}$，
故答案为：$45$；
$(2)$如图$3$，

当$C$在$BD$上时，
作$AR\bot BC$于$R$，延长$AH$至$W$，使$HW=AH$，
$\therefore \angle ARD=90^{\circ}$，
$\because \angle ACB=45^{\circ}$，$\angle ARC=90^{\circ}$，
$\therefore AR=CR=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=2\sqrt{2}$，
$\therefore DR=\sqrt{A{D}^{2}-A{R}^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=6\sqrt{2}$，
$\therefore CD=DR-CR=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，
$\because H$是$BE$的中点，
$\therefore$四边形$ABWE$是平行四边形，
$\therefore EW=AB=AC$，$\angle AEW+\angle BAE=180^{\circ}$，
$\because \angle BAC+\angle DAE=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD+\angle BAE=180^{\circ}$，
$\therefore \angle AEW=\angle CAD$，
$\because AD=AE$，
$\therefore \triangle AEW$≌$\triangle ADC\left(SAS\right)$，
$\therefore AW=CD=4\sqrt{2}$，
$\therefore AH=2\sqrt{2}$，
如图$4$，

当点$C$在$DB$的延长线上时，
$CD=DR+CR=6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$，
$\therefore AH=\frac{1}{2}CD=4\sqrt{2}$，
综上所述：$AH=2\sqrt{2}$或$4\sqrt{2}$.

（1）①如图$1$，

设$AB$与$CE$交于点$O$，
$\because \angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，$AB=AC$，$AD=AE$.
$\therefore \angle BAC+\angle BAE=\angle DAE+\angle BAE$，
$\therefore \angle CAE=\angle BAD$，
$\therefore \triangle CAE$≌$\triangle BAD\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE$，$\angle ACE=\angle ABD$，
$\because \angle BOF=\angle AOC$，
$\therefore \angle BFO=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore BD\bot CE$，
故答案为：相等，垂直；
②如图$2$，

连接$AM$，
由①知，
$\angle ACE=\angle ABD$，$CE=BD$，
$\because M$、$N$分别是$BD$与$CE$的中点，
$\therefore CN=\frac{1}{2}CE，BM=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore CN=BM$，
$\because AC=AB$，
$\therefore \triangle ACN$≌$\triangle ABM\left(SAS\right)$，
$\therefore AN=AM$，$\angle CAN=\angle BAM$，
$\therefore \angle CAN-\angle BAN=\angle BAM-\angle BAN$，
$\therefore \angle MAN=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ANM=\angle AMN=45^{\circ}$，
故答案为：$45$；
$(2)$如图$3$，

当$C$在$BD$上时，
作$AR\bot BC$于$R$，延长$AH$至$W$，使$HW=AH$，
$\therefore \angle ARD=90^{\circ}$，
$\because \angle ACB=45^{\circ}$，$\angle ARC=90^{\circ}$，
$\therefore AR=CR=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=2\sqrt{2}$，
$\therefore DR=\sqrt{A{D}^{2}-A{R}^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=6\sqrt{2}$，
$\therefore CD=DR-CR=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，
$\because H$是$BE$的中点，
$\therefore$四边形$ABWE$是平行四边形，
$\therefore EW=AB=AC$，$\angle AEW+\angle BAE=180^{\circ}$，
$\because \angle BAC+\angle DAE=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD+\angle BAE=180^{\circ}$，
$\therefore \angle AEW=\angle CAD$，
$\because AD=AE$，
$\therefore \triangle AEW$≌$\triangle ADC\left(SAS\right)$，
$\therefore AW=CD=4\sqrt{2}$，
$\therefore AH=2\sqrt{2}$，
如图$4$，

当点$C$在$DB$的延长线上时，
$CD=DR+CR=6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$，
$\therefore AH=\frac{1}{2}CD=4\sqrt{2}$，
综上所述：$AH=2\sqrt{2}$或$4\sqrt{2}$.