问题背景:$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形,$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$,$AB=AC$,$AD=AE$.

$(1)$问题探究:连接$BD$与$CE$,$BD$与$CE$交点为$F$.
①如图$1$,$BD$与$CE$的数量关系是______(填"相等"或"不相等"$),BD$与$CE$的位置关系是______$(填"平行"或"垂直")$；
②如图$2$,$M$、$N$分别是$BD$与$CE$的中点$,\angle ANM=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
$(2)$问题拓展:当等腰直角$\triangle ABC$旋转到如图$3$位置,连接$BE$,$CD$,点$H$为$BE$中点,当$B$、$C$、$D$三点共线时,若$AB=4$,$AD=4\sqrt{5}$,请求出线段$AH$的长.