题目
如图,在
Rt△ABC中,
∠ACB=90∘,
D是
AB边上的一点,过
D作
DE⊥AB交
AC于点
E,
BC=BD,连接
CD交
BE于点
F.
(1)求证:
CE=DE；
(2)若点
D为
AB的中点,求
∠AED的度数.
知识点：点、线、面、体、三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
(1)证明：
∵DE⊥AB，
∠ACB=90∘，
∴△BCE与
△BDE都是直角三角形，
在
Rt△BCE与
Rt△BDE中，
{BE=BEBC=BD∴Rt△BCE≌Rt△BDE(HL)，
∴CE=DE.
(2)∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠BDE=90∘，
∵点
D为
AB的中点，
∴AD=BD，
又
∵DE=DE，
∴△ADE≌△BDE(SAS)，
∴∠AED=∠DEB，
∵△BCE≌△BDE(已证)，
∴∠CEB=∠DEB，
∴∠AED=∠DEB=∠CEB，
∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180∘，
∴∠AED=60∘.
解析
(1)证明：
∵DE⊥AB，
∠ACB=90∘，
∴△BCE与
△BDE都是直角三角形，
在
Rt△BCE与
Rt△BDE中，
{BE=BEBC=BD∴Rt△BCE≌Rt△BDE(HL)，
∴CE=DE.
(2)∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠BDE=90∘，
∵点
D为
AB的中点，
∴AD=BD，
又
∵DE=DE，
∴△ADE≌△BDE(SAS)，
∴∠AED=∠DEB，
∵△BCE≌△BDE(已证)，
∴∠CEB=∠DEB，
∴∠AED=∠DEB=∠CEB，
∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180∘，
∴∠AED=60∘.
