如图,矩形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,将$\triangle COD$沿$CD$所在直线折叠,得到$\triangle CED$.
$(1)$求证:四边形$OCED$是菱形；
$(2)$若$AB=2$,当四边形$OCED$是正方形时,$OC$的长是______；
$(3)$若$BD=4$,$\angle ACD=30^{\circ}$,$P$是$CD$边上的动点,$Q$是$CE$边上的动点,$PE+PQ$的最小值是______.