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八年级数学填空题一般
题目
如图11,AB=12AB=12,AC⊥ABAC\bot AB,BD⊥ABBD\bot AB,AC=BD=8AC=BD=8.点PP在线段ABAB上以每秒22个单位的速度由点AA向点BB运动,同时,点QQ在线段BDBD上由BB点向点DD运动.它们的运动时间为t(s)t\left(s\right).

(1)(1)若点QQ的运动速度与点PP的运动速度相等,当t=2t=2时,△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ是否全等,请说明理由.并判断此时线段PCPC和线段PQPQ的位置关系；
(2)(2)如图22,将图11中的"AC⊥ABAC\bot AB,BD⊥ABBD\bot AB"改为"∠CAB=∠DBA=60∘\angle CAB=\angle DBA=60^{\circ},其他条件不变.设点QQ的运动速度为每秒xx个单位,使得△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等?则xx的值______.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)△ACP\left(1\right)\triangle ACP≌△BPQ\triangle BPQ，PC⊥PQPC\bot PQ，理由如下：
∵\because若点QQ的运动速度与点PP的运动速度相等，
∴\therefore当t=2t=2时，AP=BQ=2×2=4AP=BQ=2\times 2=4，
∵AB=12\because AB=12，
∴BP=AB−AP=8\therefore BP=AB-AP=8，
∵AC=8\because AC=8，
∴AC=BP\therefore AC=BP，
又∵AC⊥AB\because AC\bot AB，BD⊥ABBD\bot AB，
∴∠A=∠B=90∘\therefore \angle A=\angle B=90^{\circ}，
在△ACP\triangle ACP和△BPQ\triangle BPQ中，
{AP=BQ∠A=∠B=90°AC=BP\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠A=∠B=90°}\\{AC=BP}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△BPQ(SAS)\triangle BPQ\left(SAS\right)；
∴∠C=∠BPQ\therefore \angle C=\angle BPQ，
∵∠A=90∘\because \angle A=90^{\circ}，
∴∠C+∠APC=90∘\therefore \angle C+\angle APC=90^{\circ}，
∴∠BPQ+∠APC=90∘\therefore \angle BPQ+\angle APC=90^{\circ}，
∴∠CPQ=180∘−(∠BPQ+∠APC)=90∘\therefore \angle CPQ=180^{\circ}-\left(\angle BPQ+\angle APC\right)=90^{\circ}，
∴PC⊥PQ\therefore PC\bot PQ；
(2)(2)依题意得：AP=2tAP=2t，BQ=txBQ=tx，
∴BP=12−2t\therefore BP=12-2t，
∵∠CAB=∠DBA=60∘\because \angle CAB=\angle DBA=60^{\circ}，
∴\therefore当△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等时，有以下两种情况：
①当AC=BPAC=BP，AP=BQAP=BQ时，
在△ACP\triangle ACP和△BPQ\triangle BPQ中，
{AC=BP∠CAB=∠DBAAP=BQ\left\{\begin{array}{l}{AC=BP}\\{∠CAB=∠DBA}\\{AP=BQ}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△BPQ(SAS)\triangle BPQ\left(SAS\right)，
∵AC=BP\because AC=BP，AP=BQAP=BQ，
∴8=12−2t\therefore 8=12-2t，2t=tx2t=tx，
解得：t=2t=2，x=2x=2；
②当AC=BQAC=BQ，AP=BPAP=BP时，
在△ACP\triangle ACP和△BQP\triangle BQP中，
{AC=BQ∠CAB=∠DBAAP=BP\left\{\begin{array}{l}{AC=BQ}\\{∠CAB=∠DBA}\\{AP=BP}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△BQP(SAS)\triangle BQP\left(SAS\right)，
∵AC=BQ\because AC=BQ，AP=BPAP=BP，
∴8=tx\therefore 8=tx，2t=12−2t2t=12-2t，
解得：t=3t=3，x=83x=\frac{8}{3}，
综上所述：当△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等时，xx的值为22或83\frac{8}{3}.
故答案为：22或83\frac{8}{3}.

解析

(1)△ACP\left(1\right)\triangle ACP≌△BPQ\triangle BPQ，PC⊥PQPC\bot PQ，理由如下：
∵\because若点QQ的运动速度与点PP的运动速度相等，
∴\therefore当t=2t=2时，AP=BQ=2×2=4AP=BQ=2\times 2=4，
∵AB=12\because AB=12，
∴BP=AB−AP=8\therefore BP=AB-AP=8，
∵AC=8\because AC=8，
∴AC=BP\therefore AC=BP，
又∵AC⊥AB\because AC\bot AB，BD⊥ABBD\bot AB，
∴∠A=∠B=90∘\therefore \angle A=\angle B=90^{\circ}，
在△ACP\triangle ACP和△BPQ\triangle BPQ中，
{AP=BQ∠A=∠B=90°AC=BP\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠A=∠B=90°}\\{AC=BP}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△BPQ(SAS)\triangle BPQ\left(SAS\right)；
∴∠C=∠BPQ\therefore \angle C=\angle BPQ，
∵∠A=90∘\because \angle A=90^{\circ}，
∴∠C+∠APC=90∘\therefore \angle C+\angle APC=90^{\circ}，
∴∠BPQ+∠APC=90∘\therefore \angle BPQ+\angle APC=90^{\circ}，
∴∠CPQ=180∘−(∠BPQ+∠APC)=90∘\therefore \angle CPQ=180^{\circ}-\left(\angle BPQ+\angle APC\right)=90^{\circ}，
∴PC⊥PQ\therefore PC\bot PQ；
(2)(2)依题意得：AP=2tAP=2t，BQ=txBQ=tx，
∴BP=12−2t\therefore BP=12-2t，
∵∠CAB=∠DBA=60∘\because \angle CAB=\angle DBA=60^{\circ}，
∴\therefore当△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等时，有以下两种情况：
①当AC=BPAC=BP，AP=BQAP=BQ时，
在△ACP\triangle ACP和△BPQ\triangle BPQ中，
{AC=BP∠CAB=∠DBAAP=BQ\left\{\begin{array}{l}{AC=BP}\\{∠CAB=∠DBA}\\{AP=BQ}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△BPQ(SAS)\triangle BPQ\left(SAS\right)，
∵AC=BP\because AC=BP，AP=BQAP=BQ，
∴8=12−2t\therefore 8=12-2t，2t=tx2t=tx，
解得：t=2t=2，x=2x=2；
②当AC=BQAC=BQ，AP=BPAP=BP时，
在△ACP\triangle ACP和△BQP\triangle BQP中，
{AC=BQ∠CAB=∠DBAAP=BP\left\{\begin{array}{l}{AC=BQ}\\{∠CAB=∠DBA}\\{AP=BP}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△BQP(SAS)\triangle BQP\left(SAS\right)，
∵AC=BQ\because AC=BQ，AP=BPAP=BP，
∴8=tx\therefore 8=tx，2t=12−2t2t=12-2t，
解得：t=3t=3，x=83x=\frac{8}{3}，
综上所述：当△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等时，xx的值为22或83\frac{8}{3}.
故答案为：22或83\frac{8}{3}.

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