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八年级数学解答题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},AB=ACAB=AC,DD是ACAC边上一点,连接BDBD,EC⊥ACEC\bot AC,且AE=BDAE=BD,连接AEAE交BCBC于点FF,交BDBD于点HH.
(1)(1)求证:CE=ADCE=AD；
(2)(2)当AD=CFAD=CF时,求证:HH是AFAF的中点.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

证明：(1)∵EC⊥AC\left(1\right)\because EC\bot AC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠ACE=∠BAC=90∘\therefore \angle ACE=\angle BAC=90^{\circ}，
在Rt△ABDRt\triangle ABD与Rt△CAERt\triangle CAE中，
{AE=BDCA=AB\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{CA=AB}\end{array}\right.，
∴Rt△ABD\therefore Rt\triangle ABD≌Rt△CAE(HL)Rt\triangle CAE\left(HL\right)，
∴CE=AD\therefore CE=AD；
(2)(2)由（1）知，CE=ADCE=AD，
∵AD=CF\because AD=CF，
∴CE=CF\therefore CE=CF，
∴∠CFE=∠CEF\therefore \angle CFE=\angle CEF，
∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴∠ACB=45∘\therefore \angle ACB=45^{\circ}，
∴∠ECF=∠ACE−∠ACB=90∘−45∘=45∘\therefore \angle ECF=\angle ACE-\angle ACB=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}，
∴∠CFE=∠CEF=12(180∘−45∘)=67.5∘\therefore \angle CFE=\angle CEF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-45^{\circ})=67.5^{\circ}，
∴∠AFB=∠CFE=67.5∘\therefore \angle AFB=\angle CFE=67.5^{\circ}，
∵∠AFB=∠ACB+∠CAE=45∘+∠CAE\because \angle AFB=\angle ACB+\angle CAE=45^{\circ}+\angle CAE，
∴∠CAE=22.5∘\therefore \angle CAE=22.5^{\circ}，
∴∠BAF=90∘−∠CAE=67.5∘\therefore \angle BAF=90^{\circ}-\angle CAE=67.5^{\circ}，
∴∠BAF=∠BFA=67.5∘\therefore \angle BAF=\angle BFA=67.5^{\circ}，
∴BA=BF\therefore BA=BF，
由（1）知，∠CAE=∠ABD=22.5∘\angle CAE=\angle ABD=22.5^{\circ}，
∴∠FBD=45∘−22.5∘=22.5∘\therefore \angle FBD=45^{\circ}-22.5^{\circ}=22.5^{\circ}，
∴∠ABD=∠FBD\therefore \angle ABD=\angle FBD，
∴AH=FH\therefore AH=FH，
∴H\therefore H是AFAF的中点.

解析

证明：(1)∵EC⊥AC\left(1\right)\because EC\bot AC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠ACE=∠BAC=90∘\therefore \angle ACE=\angle BAC=90^{\circ}，
在Rt△ABDRt\triangle ABD与Rt△CAERt\triangle CAE中，
{AE=BDCA=AB\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{CA=AB}\end{array}\right.，
∴Rt△ABD\therefore Rt\triangle ABD≌Rt△CAE(HL)Rt\triangle CAE\left(HL\right)，
∴CE=AD\therefore CE=AD；
(2)(2)由（1）知，CE=ADCE=AD，
∵AD=CF\because AD=CF，
∴CE=CF\therefore CE=CF，
∴∠CFE=∠CEF\therefore \angle CFE=\angle CEF，
∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴∠ACB=45∘\therefore \angle ACB=45^{\circ}，
∴∠ECF=∠ACE−∠ACB=90∘−45∘=45∘\therefore \angle ECF=\angle ACE-\angle ACB=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}，
∴∠CFE=∠CEF=12(180∘−45∘)=67.5∘\therefore \angle CFE=\angle CEF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-45^{\circ})=67.5^{\circ}，
∴∠AFB=∠CFE=67.5∘\therefore \angle AFB=\angle CFE=67.5^{\circ}，
∵∠AFB=∠ACB+∠CAE=45∘+∠CAE\because \angle AFB=\angle ACB+\angle CAE=45^{\circ}+\angle CAE，
∴∠CAE=22.5∘\therefore \angle CAE=22.5^{\circ}，
∴∠BAF=90∘−∠CAE=67.5∘\therefore \angle BAF=90^{\circ}-\angle CAE=67.5^{\circ}，
∴∠BAF=∠BFA=67.5∘\therefore \angle BAF=\angle BFA=67.5^{\circ}，
∴BA=BF\therefore BA=BF，
由（1）知，∠CAE=∠ABD=22.5∘\angle CAE=\angle ABD=22.5^{\circ}，
∴∠FBD=45∘−22.5∘=22.5∘\therefore \angle FBD=45^{\circ}-22.5^{\circ}=22.5^{\circ}，
∴∠ABD=∠FBD\therefore \angle ABD=\angle FBD，
∴AH=FH\therefore AH=FH，
∴H\therefore H是AFAF的中点.

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