$(1)$如图$1$,已知正方形$ABCD$,把一个直角与正方形叠合,使直角顶点与点$A$重合,当直角的一边与$BC$相交于点$E$,另一边与$CD$的延长线相交于点$F$时,求证:$BE=DF$；
$(2)$如图$2$,将图$1$中的直角改为$\angle EAF=45^{\circ}$,当$\angle EAF$的一边与$BC$的延长线相交于点$E$,另一边与$CD$的延长线相交于点$F$,连接$EF$,线段$BE$,$DF$和$EF$之间有怎样的数量关系?请加以证明.