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八年级数学解答题一般
题目
(1)(1)如图11,已知正方形ABCDABCD,把一个直角与正方形叠合,使直角顶点与点AA重合,当直角的一边与BCBC相交于点EE,另一边与CDCD的延长线相交于点FF时,求证:BE=DFBE=DF；
(2)(2)如图22,将图11中的直角改为∠EAF=45∘\angle EAF=45^{\circ},当∠EAF\angle EAF的一边与BCBC的延长线相交于点EE,另一边与CDCD的延长线相交于点FF,连接EFEF,线段BEBE,DFDF和EFEF之间有怎样的数量关系?请加以证明.
知识点：三角形、四边形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵\because四边形ABCDABCD是正方形，
∴AD=AB\therefore AD=AB，∠ABE=∠ADC=∠BAD=90∘\angle ABE=\angle ADC=\angle BAD=90^{\circ}，
∴∠ADF=90∘\therefore \angle ADF=90^{\circ}，∠BAE+∠DAE=90∘\angle BAE+\angle DAE=90^{\circ}，
∵∠EAF=90∘\because \angle EAF=90^{\circ}，
∴∠DAE+∠DAF=90∘\therefore \angle DAE+\angle DAF=90^{\circ}，
∴∠DAF=∠BAE\therefore \angle DAF=\angle BAE，
在△ADF\triangle ADF和△ABE\triangle ABE中，
{∠DAF=∠BAEAD=AB∠ADF=∠ABE\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BAE}\\{AD=AB}\\{∠ADF=∠ABE}\end{array}\right.，
∴△ADF\therefore \triangle ADF≌△ABE(ASA)\triangle ABE\left(ASA\right)，
∴BE=DF\therefore BE=DF；
(2)BE=BG+EG=DF+EF(2)BE=BG+EG=DF+EF；
证明：如图22，在BEBE上截取BG=DFBG=DF，

∵\because四边形ABCDABCD是正方形，
∴AD=AB\therefore AD=AB，∠ABE=∠ADC=∠BAD=90∘\angle ABE=\angle ADC=\angle BAD=90^{\circ}，
∴∠ADF=90∘\therefore \angle ADF=90^{\circ}，
在△ADF\triangle ADF和△ABG\triangle ABG中，
{AD=AF∠ADF=∠ABGDF=BG\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠ADF=∠ABG}\\{DF=BG}\end{array}\right.，
∴△ADF\therefore \triangle ADF≌△ABG(SAS)\triangle ABG\left(SAS\right)，
∴∠DAF=∠BAG\therefore \angle DAF=\angle BAG，AF=AGAF=AG，
∵∠EAF=45∘\because \angle EAF=45^{\circ}，
∴∠DAF+∠DAE=45∘\therefore \angle DAF+\angle DAE=45^{\circ}，
∴∠BAG+∠DAE=45∘\therefore \angle BAG+\angle DAE=45^{\circ}，
∴∠EAG=90∘−45∘=45∘\therefore \angle EAG=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}，
∴∠EAF=∠EAG\therefore \angle EAF=\angle EAG，
在△EAF\triangle EAF和△EAG\triangle EAG中，
{AF=AG∠EAF=∠EAGEA=EA\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠EAF=∠EAG}\\{EA=EA}\end{array}\right.，
∴△EAF\therefore \triangle EAF≌△EAG(SAS)\triangle EAG\left(SAS\right)，
∴EF=EG\therefore EF=EG，
∴BE=BG+EG=DF+EF\therefore BE=BG+EG=DF+EF.

解析

(1)(1)证明：∵\because四边形ABCDABCD是正方形，
∴AD=AB\therefore AD=AB，∠ABE=∠ADC=∠BAD=90∘\angle ABE=\angle ADC=\angle BAD=90^{\circ}，
∴∠ADF=90∘\therefore \angle ADF=90^{\circ}，∠BAE+∠DAE=90∘\angle BAE+\angle DAE=90^{\circ}，
∵∠EAF=90∘\because \angle EAF=90^{\circ}，
∴∠DAE+∠DAF=90∘\therefore \angle DAE+\angle DAF=90^{\circ}，
∴∠DAF=∠BAE\therefore \angle DAF=\angle BAE，
在△ADF\triangle ADF和△ABE\triangle ABE中，
{∠DAF=∠BAEAD=AB∠ADF=∠ABE\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BAE}\\{AD=AB}\\{∠ADF=∠ABE}\end{array}\right.，
∴△ADF\therefore \triangle ADF≌△ABE(ASA)\triangle ABE\left(ASA\right)，
∴BE=DF\therefore BE=DF；
(2)BE=BG+EG=DF+EF(2)BE=BG+EG=DF+EF；
证明：如图22，在BEBE上截取BG=DFBG=DF，

∵\because四边形ABCDABCD是正方形，
∴AD=AB\therefore AD=AB，∠ABE=∠ADC=∠BAD=90∘\angle ABE=\angle ADC=\angle BAD=90^{\circ}，
∴∠ADF=90∘\therefore \angle ADF=90^{\circ}，
在△ADF\triangle ADF和△ABG\triangle ABG中，
{AD=AF∠ADF=∠ABGDF=BG\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠ADF=∠ABG}\\{DF=BG}\end{array}\right.，
∴△ADF\therefore \triangle ADF≌△ABG(SAS)\triangle ABG\left(SAS\right)，
∴∠DAF=∠BAG\therefore \angle DAF=\angle BAG，AF=AGAF=AG，
∵∠EAF=45∘\because \angle EAF=45^{\circ}，
∴∠DAF+∠DAE=45∘\therefore \angle DAF+\angle DAE=45^{\circ}，
∴∠BAG+∠DAE=45∘\therefore \angle BAG+\angle DAE=45^{\circ}，
∴∠EAG=90∘−45∘=45∘\therefore \angle EAG=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}，
∴∠EAF=∠EAG\therefore \angle EAF=\angle EAG，
在△EAF\triangle EAF和△EAG\triangle EAG中，
{AF=AG∠EAF=∠EAGEA=EA\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠EAF=∠EAG}\\{EA=EA}\end{array}\right.，
∴△EAF\therefore \triangle EAF≌△EAG(SAS)\triangle EAG\left(SAS\right)，
∴EF=EG\therefore EF=EG，
∴BE=BG+EG=DF+EF\therefore BE=BG+EG=DF+EF.

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