探究：（方法一）当$x-1\leqslant 0$时，$|x-1|=1-x=2$，
故答案为：$1-x$.
$($方法二$)|x-1|=2$的意义是数轴上表示$x$的点与表示$1$的点之间的距离是$2$，
故答案为：$1$.
$\because$当$x-1 \gt 0$时，$|x-1|=x-1=2$，解得$x=3$；当$x-1\leqslant 0$时，$|x-1|=1-x=2$，解得$x=-1$；数轴上表示$3$或$-1$的点到表示$1$的点之间的距离是$2$；
$\therefore$上述两种方法，都可以求得方程$|x-1|=2$的解是$x=3$或$x=-1$.
故答案为：$x=3$或$x=-1$.
应用：$\because |x-1|+|x+3|=9$的意义是数轴上表示$x$的点分别与表示$-3$和$1$的点距离之和为$9$，
$\therefore x\leqslant -3$或$x\geqslant 1$.
当$x \lt -3$时，$|x-1|+|x+3|=1-x-\left(x+3\right)=9$，即$-2x-2=9$，解得$x=-\frac{11}{2}$；
当$x \gt 1$时，，$|x-1|+|x+3|=x-1+x+3=9$，即$2x+2=9$，解得$x=\frac{7}{2}$.
综上，$x=-\frac{11}{2}$或$x=\frac{7}{2}$，
故答案为：$x=-\frac{11}{2}$或$x=\frac{7}{2}$.
拓展：$\because |x-1|-|-x-3|=|x-1|-|x+3|=\frac{1}{2}$的意义是数轴上表示$x$的点到表示$1$的点的距离与到表示$-3$的点的距离之差为$\frac{1}{2}$，
$\therefore -3\leqslant x\leqslant 1$.
当$-3\leqslant x\leqslant 1$时，$|x-1|-|-x-3|=|x-1|-|x+3|=1-x-\left(x+3\right)=\frac{1}{2}$，即$-2x-2=\frac{1}{2}$，解得$x=-\frac{5}{4}$，
故答案为：$-\frac{5}{4}$.

探究：（方法一）当$x-1\leqslant 0$时，$|x-1|=1-x=2$，
故答案为：$1-x$.
$($方法二$)|x-1|=2$的意义是数轴上表示$x$的点与表示$1$的点之间的距离是$2$，
故答案为：$1$.
$\because$当$x-1 \gt 0$时，$|x-1|=x-1=2$，解得$x=3$；当$x-1\leqslant 0$时，$|x-1|=1-x=2$，解得$x=-1$；数轴上表示$3$或$-1$的点到表示$1$的点之间的距离是$2$；
$\therefore$上述两种方法，都可以求得方程$|x-1|=2$的解是$x=3$或$x=-1$.
故答案为：$x=3$或$x=-1$.
应用：$\because |x-1|+|x+3|=9$的意义是数轴上表示$x$的点分别与表示$-3$和$1$的点距离之和为$9$，
$\therefore x\leqslant -3$或$x\geqslant 1$.
当$x \lt -3$时，$|x-1|+|x+3|=1-x-\left(x+3\right)=9$，即$-2x-2=9$，解得$x=-\frac{11}{2}$；
当$x \gt 1$时，，$|x-1|+|x+3|=x-1+x+3=9$，即$2x+2=9$，解得$x=\frac{7}{2}$.
综上，$x=-\frac{11}{2}$或$x=\frac{7}{2}$，
故答案为：$x=-\frac{11}{2}$或$x=\frac{7}{2}$.
拓展：$\because |x-1|-|-x-3|=|x-1|-|x+3|=\frac{1}{2}$的意义是数轴上表示$x$的点到表示$1$的点的距离与到表示$-3$的点的距离之差为$\frac{1}{2}$，
$\therefore -3\leqslant x\leqslant 1$.
当$-3\leqslant x\leqslant 1$时，$|x-1|-|-x-3|=|x-1|-|x+3|=1-x-\left(x+3\right)=\frac{1}{2}$，即$-2x-2=\frac{1}{2}$，解得$x=-\frac{5}{4}$，
故答案为：$-\frac{5}{4}$.