C

小于$4$，但不小于$-5$的整数有：$-5$、$-4$、$-3$、$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$，$3$，
其和为：$-5+\left(-4\right)+\left(-3\right)+\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1+2+3=-9$.
答：小于$4$，但不小于$-5$的所有整数之和为$-9$.
故选：$C$.