题目
如图,
△ABC是等边三角形,
D是
△ABC内一点,
∠BDC=120∘.
(1)求作点
D关于直线
BC的对称点
E,
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)在（1）的条件下连接
AE,
BE,
CE,延长
BE至
F,使得
EF=EC,求证:
AE=BF.
知识点：三角形、全等三角形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
(1)如图所示；
(2)证明：由作图知，
BC垂直平分
DE，
∴CD=CE，
BD=BE，
∵BC=BC，
∴△BDC≌△BEC(SSS)，
∴∠BCE=∠BCD，
∠BEC=∠BDC=120∘，
∴∠CEF=60∘，
∵CE=EF，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠F=∠ECF=60∘，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∠ACB=60∘，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF.
解析
(1)如图所示；
(2)证明：由作图知，
BC垂直平分
DE，
∴CD=CE，
BD=BE，
∵BC=BC，
∴△BDC≌△BEC(SSS)，
∴∠BCE=∠BCD，
∠BEC=∠BDC=120∘，
∴∠CEF=60∘，
∵CE=EF，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠F=∠ECF=60∘，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∠ACB=60∘，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF.
