$(1)$证明：如图所示，连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HE$、$HF$，

$\because E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，
$\therefore HF$、$HE$分别是$\triangle BCD$、$\triangle ABD$的中位线，
$\therefore HF$∥$CN,HE$∥$BM$，$HF=\frac{1}{2}CD，HE=\frac{1}{2}AB$，
$\because AB=CD$，
$\therefore HF=HE$，
$\therefore \angle HEF=\angle HFE$，
$\because HF$∥$CN,HE$∥$BM$，
$\therefore \angle HEF=\angle BME$，$\angle HFE=\angle CNE$，
$\therefore \angle BME=\angle CNE$；
$(2)$$\triangle OMN$是等腰三角形；
证明：如图，取$BD$的中点$H$，连接$HE$、$HF$，

$\because E$、$F$分别是$BC$、$AD$的中点，
$\therefore HF$、$HE$分别是$\triangle ABD$、$\triangle BCD$的中位线，
$\therefore HF$∥$AB,HE$∥$CD$，$HF=\frac{1}{2}AB，HE=\frac{1}{2}CD$，
$\because AB=CD$，
$\therefore HF=HE$，
$\therefore \angle HFE=\angle HEF$，
$\because HF$∥$AB,HE$∥$CD$，
$\therefore \angle HFE=\angle ONM$，$\angle HEF=\angle OMN$，
$\therefore \angle ONM=\angle OMN$，
$\therefore OM=ON$，
$\therefore \triangle OMN$是等腰三角形.

$(1)$证明：如图所示，连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HE$、$HF$，

$\because E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，
$\therefore HF$、$HE$分别是$\triangle BCD$、$\triangle ABD$的中位线，
$\therefore HF$∥$CN,HE$∥$BM$，$HF=\frac{1}{2}CD，HE=\frac{1}{2}AB$，
$\because AB=CD$，
$\therefore HF=HE$，
$\therefore \angle HEF=\angle HFE$，
$\because HF$∥$CN,HE$∥$BM$，
$\therefore \angle HEF=\angle BME$，$\angle HFE=\angle CNE$，
$\therefore \angle BME=\angle CNE$；
$(2)$$\triangle OMN$是等腰三角形；
证明：如图，取$BD$的中点$H$，连接$HE$、$HF$，

$\because E$、$F$分别是$BC$、$AD$的中点，
$\therefore HF$、$HE$分别是$\triangle ABD$、$\triangle BCD$的中位线，
$\therefore HF$∥$AB,HE$∥$CD$，$HF=\frac{1}{2}AB，HE=\frac{1}{2}CD$，
$\because AB=CD$，
$\therefore HF=HE$，
$\therefore \angle HFE=\angle HEF$，
$\because HF$∥$AB,HE$∥$CD$，
$\therefore \angle HFE=\angle ONM$，$\angle HEF=\angle OMN$，
$\therefore \angle ONM=\angle OMN$，
$\therefore OM=ON$，
$\therefore \triangle OMN$是等腰三角形.