C

连接$AP$，$AH$，

$\because AB=AC=13$，$\triangle ABC$的周长为$36$，
$\therefore BC=36-2\times 13=10$，
$\because H$是$BC$中点，
$\therefore BH=\frac{1}{2}BC=5$，
$\because \triangle ABC$是等腰三角形，点$H$是$BC$中点，
$\therefore AH\bot BC$，
$\therefore AH=\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}=\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}=12$，
$\because MN$是线段$AB$的垂直平分线，
$\therefore$点$B$关于直线$MN$的对称点为点$A$，
$\therefore AP=BP$，
$\therefore BP+PH=AP+PH\geqslant AH$，
$\therefore AH$的长为$BP+PH$的最小值，
$\therefore BP+PH$的最小值为$12$.
故选：$C$.