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八年级数学填空题一般
题目
如果三角形的两个内角α\alpha与β\beta满足3α+β=90∘3\alpha +\beta =90^{\circ},那么我们称这样的三角形为"准直角三角形".如图,BB、CC为直线ll上两点,点AA在直线ll外,且∠ABC=45∘\angle ABC=45^{\circ}.若PP是ll上一点,且△ABP\triangle ABP是"准直角三角形",则∠APB\angle APB的所有可能的度数为______.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

当点PP在点BB的右侧时，

∵3α+β=90∘\because 3\alpha +\beta =90^{\circ}，而45∘×3=135∘>90∘45^{\circ}\times 3=135^{\circ} \gt 90^{\circ}，∠ABC≠α\angle ABC\neq \alpha，
①∠A=α\angle A=\alpha，∠ABC=β=45∘\angle ABC=\beta =45^{\circ}，
由3α+β=90∘3\alpha +\beta =90^{\circ}得，α=15∘\alpha =15^{\circ}，
∴∠APB=180∘−∠ABC−∠A=120∘\therefore \angle APB=180^{\circ}-\angle ABC-\angle A=120^{\circ}；
②∠APB=α\angle APB=\alpha，∠ABC=β=45∘\angle ABC=\beta =45^{\circ}，

同理得：∠APB=α=15∘\angle APB=\alpha =15^{\circ}；
③∠APB=α\angle APB=\alpha，∠A=β\angle A=\beta，

得，{3α+β=90°α+β=180°−45°\left\{\begin{array}{l}{3α+β=90°}\\{α+β=180°-45°}\end{array}\right.，
解得：α=−22.5∘(不合题意舍去)\alpha =-22.5^{\circ}(不合题意舍去)，
④∠APB=β\angle APB=\beta，∠A=α\angle A=\alpha，

同理不合题意；
当点PP在点BB的左侧时，
⑤∠APB=α\angle APB=\alpha，∠A=β\angle A=\beta，∠ABC=∠APB+∠A=45∘\angle ABC=\angle APB+\angle A=45^{\circ}，

得，{3α+β=90°α+β=45°\left\{\begin{array}{l}{3α+β=90°}\\{α+β=45°}\end{array}\right.，
解得：{α=22.5°β=22.5°\left\{\begin{array}{l}{α=22.5°}\\{β=22.5°}\end{array}\right.，
即∠APB=22.5∘\angle APB=22.5^{\circ}；
⑥∠APB=β\angle APB=\beta，∠A=α\angle A=\alpha，∠ABC=∠APB+∠A=45∘\angle ABC=\angle APB+\angle A=45^{\circ}，

得，{3α+β=90°α+β=45°\left\{\begin{array}{l}{3α+β=90°}\\{α+β=45°}\end{array}\right.，
解得：{β=22.5°α=22.5°\left\{\begin{array}{l}{β=22.5°}\\{α=22.5°}\end{array}\right.，
即∠APB=22.5∘\angle APB=22.5^{\circ}，
综上所述，∠APB\angle APB的所有可能的度数为15∘15^{\circ}或22.5∘22.5^{\circ}或120∘120^{\circ}，
故答案为15∘15^{\circ}或22.5∘22.5^{\circ}或120∘120^{\circ}.

解析

当点PP在点BB的右侧时，

∵3α+β=90∘\because 3\alpha +\beta =90^{\circ}，而45∘×3=135∘>90∘45^{\circ}\times 3=135^{\circ} \gt 90^{\circ}，∠ABC≠α\angle ABC\neq \alpha，
①∠A=α\angle A=\alpha，∠ABC=β=45∘\angle ABC=\beta =45^{\circ}，
由3α+β=90∘3\alpha +\beta =90^{\circ}得，α=15∘\alpha =15^{\circ}，
∴∠APB=180∘−∠ABC−∠A=120∘\therefore \angle APB=180^{\circ}-\angle ABC-\angle A=120^{\circ}；
②∠APB=α\angle APB=\alpha，∠ABC=β=45∘\angle ABC=\beta =45^{\circ}，

同理得：∠APB=α=15∘\angle APB=\alpha =15^{\circ}；
③∠APB=α\angle APB=\alpha，∠A=β\angle A=\beta，

得，{3α+β=90°α+β=180°−45°\left\{\begin{array}{l}{3α+β=90°}\\{α+β=180°-45°}\end{array}\right.，
解得：α=−22.5∘(不合题意舍去)\alpha =-22.5^{\circ}(不合题意舍去)，
④∠APB=β\angle APB=\beta，∠A=α\angle A=\alpha，

同理不合题意；
当点PP在点BB的左侧时，
⑤∠APB=α\angle APB=\alpha，∠A=β\angle A=\beta，∠ABC=∠APB+∠A=45∘\angle ABC=\angle APB+\angle A=45^{\circ}，

得，{3α+β=90°α+β=45°\left\{\begin{array}{l}{3α+β=90°}\\{α+β=45°}\end{array}\right.，
解得：{α=22.5°β=22.5°\left\{\begin{array}{l}{α=22.5°}\\{β=22.5°}\end{array}\right.，
即∠APB=22.5∘\angle APB=22.5^{\circ}；
⑥∠APB=β\angle APB=\beta，∠A=α\angle A=\alpha，∠ABC=∠APB+∠A=45∘\angle ABC=\angle APB+\angle A=45^{\circ}，

得，{3α+β=90°α+β=45°\left\{\begin{array}{l}{3α+β=90°}\\{α+β=45°}\end{array}\right.，
解得：{β=22.5°α=22.5°\left\{\begin{array}{l}{β=22.5°}\\{α=22.5°}\end{array}\right.，
即∠APB=22.5∘\angle APB=22.5^{\circ}，
综上所述，∠APB\angle APB的所有可能的度数为15∘15^{\circ}或22.5∘22.5^{\circ}或120∘120^{\circ}，
故答案为15∘15^{\circ}或22.5∘22.5^{\circ}或120∘120^{\circ}.

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