$\because \angle EPA$、$\angle FPC$都是$\angle APF$的余角，
$\therefore \angle APE=\angle CPF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，且$P$是$BC$的中点，
$\therefore AP=CP$，$\angle EAP=\angle FCP=45^{\circ}$，
在$\triangle APE$和$\triangle CPF$中，
$\left\{\begin{array}{c}AP=CP\\∠EPA=∠FPC\\∠EAP=∠FCP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle APE$≌$\triangle CPF\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=CF$，故结论①正确；
$\because \triangle PEA$≌$\triangle PFC$，
$\therefore PE=PF$，
又$\because \angle EPF=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形，故结论②正确；
$\because EF$随着点$E$的变化而变化，
$\therefore EF\neq AB$，故结论③错误；
$\because \triangle PEA$≌$\triangle PFC$，
$\therefore S_{\triangle PEA}=S_{\triangle PFC}$，
$\therefore {S}_{四边形AEPF}={S}_{△APE}+{S}_{△APF}={S}_{△PFC}+{S}_{△APF}={S}_{△APC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
故结论④正确；
则正确的选项有：①②④，
故答案为：①②④.

$\because \angle EPA$、$\angle FPC$都是$\angle APF$的余角，
$\therefore \angle APE=\angle CPF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，且$P$是$BC$的中点，
$\therefore AP=CP$，$\angle EAP=\angle FCP=45^{\circ}$，
在$\triangle APE$和$\triangle CPF$中，
$\left\{\begin{array}{c}AP=CP\\∠EPA=∠FPC\\∠EAP=∠FCP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle APE$≌$\triangle CPF\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=CF$，故结论①正确；
$\because \triangle PEA$≌$\triangle PFC$，
$\therefore PE=PF$，
又$\because \angle EPF=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形，故结论②正确；
$\because EF$随着点$E$的变化而变化，
$\therefore EF\neq AB$，故结论③错误；
$\because \triangle PEA$≌$\triangle PFC$，
$\therefore S_{\triangle PEA}=S_{\triangle PFC}$，
$\therefore {S}_{四边形AEPF}={S}_{△APE}+{S}_{△APF}={S}_{△PFC}+{S}_{△APF}={S}_{△APC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
故结论④正确；
则正确的选项有：①②④，
故答案为：①②④.