题目
已知:如图
△ABC是直角三角形,
∠ACB=90∘,点
E、
F分别在边
BC、
AC上,且
BE=1,
AF=3,
EF=10.
(1)证明:线段
EF,
AF,
BE能组成直角三角形；
(2)当
D是边
AB上的中点时,判断:
DF、
DE的位置关系.
知识点：三角形、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、勾股定理章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
(1)证明：
∵BE2+AF2=12+32=10，
EF2=(10)2=10，
∴BE2+AF2=EF2，
∴线段
EF，
AF，
BE能组成直角三角形；
(2)DE⊥DF.
理由：延长
FD，使得
FD=DM，连接
BM、
EM，
∵D是边
AB上的中点，
∴AD=BD，
又
∵∠ADF=∠BDM，
FD=DM，
∴△ADF≌△BDM(SAS)，
∴∠AFD=∠BMD，
AF=BM=3，
∴AC∥BM，
∴∠AFB+∠MBC=180∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠MBC=180∘−90∘=90∘，
∴在
Rt△MBE中，
ME=BE2+BM2=12+32=10，
∵EF=10，
∴ME=EF，
∵FD=DM，
∴ED⊥FM，
即
ED⊥FD.
解析
(1)证明：
∵BE2+AF2=12+32=10，
EF2=(10)2=10，
∴BE2+AF2=EF2，
∴线段
EF，
AF，
BE能组成直角三角形；
(2)DE⊥DF.
理由：延长
FD，使得
FD=DM，连接
BM、
EM，
∵D是边
AB上的中点，
∴AD=BD，
又
∵∠ADF=∠BDM，
FD=DM，
∴△ADF≌△BDM(SAS)，
∴∠AFD=∠BMD，
AF=BM=3，
∴AC∥BM，
∴∠AFB+∠MBC=180∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠MBC=180∘−90∘=90∘，
∴在
Rt△MBE中，
ME=BE2+BM2=12+32=10，
∵EF=10，
∴ME=EF，
∵FD=DM，
∴ED⊥FM，
即
ED⊥FD.
