B

延长$AD$至$M$，如图：

$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle ACB=\angle ABC=\angle BAC=60^{\circ}$，
$\because DE=DF=AD$，
$\therefore \angle DAE=\angle E$，$\angle DAF=\angle DFA$，
又$\because \angle MDF=\angle DAF+\angle DFA=2\angle DAF$，$\angle EDM=\angle DAE+\angle E=2\angle DAE$，
$\therefore \angle EDF=\angle MDF+\angle EDM=2\angle DAF+2\angle DAE=2\angle EAF=2\times 60^{\circ}=120^{\circ}$；
$\because \angle ABC=\angle ACB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle DCF=180^{\circ}-\angle ACB=120^{\circ}$，$\angle EBD=180^{\circ}-\angle ABC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle DCF=\angle EBD$，
$\because \angle DBE+\angle E+\angle BDE=180^{\circ}$，
$\therefore \angle E+\angle BDE=60^{\circ}$，
$\because \angle EDF=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE+\angle CDF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle E=\angle CDF$，
在$\triangle DBE$和$\triangle FCD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠DCF}\\{∠E=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DBE$≌$\triangle FCD\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=CD$，$BD=CF$，
$\therefore BE+CF=CD+BD=BC$，不变，
故①是不变的量，符合题意；
$\because \triangle BDE$的周长$=BD+BE+DE=BC+AD$，
而虽然$BC$不变，但$AD$是变化的，
故②改变，不符合题意；
$\because \triangle DBE$≌$\triangle FCD$，
$\therefore S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CFD}$，
$\therefore \frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△CFD}}=1$，
故③是不变的量，符合题意；
$\because \angle BDE+\angle CDF=60^{\circ}$，
故④是不变的量，符合题意.
故选：$B$.