B

圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从$A$顺着圆柱侧面绕$3$圈到$B$的运动最短路线是：$AC\rightarrow CD\rightarrow DB$；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成$3$个小长方形，$A$沿着$3$个长方形的对角线运动到$B$的路线最短；
$\because$圆柱底面半径为$\frac{4}{π}cm$，
$\therefore$长方形的宽即是圆柱体的底面周长：$2\pi \times \frac{4}{π}=8cm$；
又$\because$圆柱高为$18cm$，
$\therefore$小长方形的一条边长是$6cm$；
根据勾股定理求得$AC=CD=DB=10cm$；
$\therefore AC+CD+DB=30cm$；
故选：$B$.