C

甲方案：在▱$ABCD$中，$OA=OC$，$OB=OD$.
$\because BF=DE$，
$\therefore BF-EF=DE-EF$，即$BE=DF$.
$\therefore OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$.
在四边形$AECF$中，$\because OA=OC$，$OE=OF$，
$\therefore$四边形$AECF$为平行四边形.
故该方案符合题意.

乙方案：在▱$ABCD$中，$OA=OC$，$\angle AOE=\angle COF$.
$\because AE$∥$CF$，
$\therefore \angle EAO=\angle FCO$.
在$\triangle AOE$与$\triangle COF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle COF\left(ASA\right).$
$\therefore AE=CF$.
在四边形$AECF$中$,\because AE$∥$CF$、$AE=CF$，
$\therefore$四边形$AECF$为平行四边形.
故该方案符合题意.
观察选项，选项$D$符合题意.
故选：$C$.