定义:若某三角形的三边长$a$,$b$,$c$满足$ab+a^{2}=c^{2}$,则称该三角形为"类勾股三角形".请根据以上定义解决下列问题:
$(1)$判断等边三角形是否为"类勾股三角形",并说明理由；
$(2)$若等腰三角形$ABC$是"类勾股三角形",其中$AC=BC$,$AB \gt AC$,求$\angle A$的度数；
$(2)$如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=2\angle A$,且$\angle B \gt \angle A$.证明:$\triangle ABC$为"类勾股三角形".