$(1)$等边三角形不是“类勾股三角形”，
理由：设等边三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，
则$a=b=c$，
$\therefore ab+a^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2} \gt c^{2}$，
$\therefore$等边三角形不是“类勾股三角形”；
$(2)$$\because$等腰三角形$ABC$是“类勾股三角形”，$AC=BC$，$AB \gt AC$，
$\therefore AC\cdot BC+AC^{2}=AB^{2}$，
$\therefore BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \angle A=\angle B=45^{\circ}$，
$\therefore \angle A$的度数为$45^{\circ}$；
$(3)$证明：过点$B$作$BG\bot AC$，垂足为$G$，在$GA$上截取$GD=GC$，连接$BD$，

$\therefore BG$是$CD$的垂直平分线，
$\therefore BD=BC=a$，
$\therefore \angle C=\angle BDC$，
$\because \angle C=2\angle A$，
$\therefore \angle BDC=2\angle A$，
$\because \angle BDC=\angle A+\angle ABD$，
$\therefore \angle A=\angle ABD$，
$\therefore DA=BD=a$，
$\therefore CD=AC-AD=b-a$，
$\therefore DG=CG=\frac{1}{2}CD=\frac{b-a}{2}$，
$\therefore AG=AD+DG=a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$，
在$Rt\triangle ABG$中，$BG^{2}=AB^{2}-AG^{2}=c^{2}-(\frac{a+b}{2})^{2}$，
在$Rt\triangle BGC$中，$BG^{2}=BC^{2}-CG^{2}=a^{2}-(\frac{b-a}{2})^{2}$，
$\therefore c^{2}-(\frac{a+b}{2})^{2}=a^{2}-(\frac{b-a}{2})^{2}$，
$\therefore a^{2}+ab=c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$为“类勾股三角形”.

$(1)$等边三角形不是“类勾股三角形”，
理由：设等边三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，
则$a=b=c$，
$\therefore ab+a^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2} \gt c^{2}$，
$\therefore$等边三角形不是“类勾股三角形”；
$(2)$$\because$等腰三角形$ABC$是“类勾股三角形”，$AC=BC$，$AB \gt AC$，
$\therefore AC\cdot BC+AC^{2}=AB^{2}$，
$\therefore BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\because AC=BC$，
$\therefore \angle A=\angle B=45^{\circ}$，
$\therefore \angle A$的度数为$45^{\circ}$；
$(3)$证明：过点$B$作$BG\bot AC$，垂足为$G$，在$GA$上截取$GD=GC$，连接$BD$，

$\therefore BG$是$CD$的垂直平分线，
$\therefore BD=BC=a$，
$\therefore \angle C=\angle BDC$，
$\because \angle C=2\angle A$，
$\therefore \angle BDC=2\angle A$，
$\because \angle BDC=\angle A+\angle ABD$，
$\therefore \angle A=\angle ABD$，
$\therefore DA=BD=a$，
$\therefore CD=AC-AD=b-a$，
$\therefore DG=CG=\frac{1}{2}CD=\frac{b-a}{2}$，
$\therefore AG=AD+DG=a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$，
在$Rt\triangle ABG$中，$BG^{2}=AB^{2}-AG^{2}=c^{2}-(\frac{a+b}{2})^{2}$，
在$Rt\triangle BGC$中，$BG^{2}=BC^{2}-CG^{2}=a^{2}-(\frac{b-a}{2})^{2}$，
$\therefore c^{2}-(\frac{a+b}{2})^{2}=a^{2}-(\frac{b-a}{2})^{2}$，
$\therefore a^{2}+ab=c^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$为“类勾股三角形”.