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八年级数学解答题一般
题目
如图(1)AB=9cm\left(1\right)AB=9cm,AC⊥ABAC\bot AB,BD⊥ABBD\bot AB,AC=BD=7cmAC=BD=7cm,点PP在线段ABAB上以2cm/s2cm/s的速度由点AA向点BB运动,同时,点QQ在线段BDBD上由点BB向点DD运动,它们运动的时间为t(s)t\left(s\right).

(1)(1)若点QQ的运动速度与点PP的运动速度相等,当t=1t=1时,△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ是否全等,请说明理由；
(2)(2)在（1）的前提条件下,判断此时线段PCPC和线段PQPQ的位置关系,并证明；
(3)(3)如图(2)\left(2\right),将图（1）中的"AC⊥ABAC\bot AB,BD⊥ABBD\bot AB"为改"∠CAB=∠DBA\angle CAB=\angle DBA",其他条件不变.设点QQ的运动速度为xcm/sx cm/s,是否存在实数xx,使得△ACP\triangle ACP与以BB、PP、QQ为顶点的三角形全等?若存在,求出相应的xx、tt的值；若不存在,请说明理由.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)△ACP\left(1\right)\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等，
理由如下：当t=1t=1时，AP=BQ=2AP=BQ=2，
则BP=9−2=7BP=9-2=7，
∴BP=AC\therefore BP=AC，
又∵∠A=∠B=90∘\because \angle A=\angle B=90^{\circ}，
在△ACP\triangle ACP和△BPQ\triangle BPQ中，
{AP=BQ∠A=∠BCA=PB\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠A=∠B}\\{CA=PB}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△BPQ(SAS)\triangle BPQ\left(SAS\right)；
(2)PC⊥PQ(2)PC\bot PQ，
证明：∵△ACP\because \triangle ACP≌△BPQ\triangle BPQ，
∴∠ACP=∠BPQ\therefore \angle ACP=\angle BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90∘\therefore \angle APC+\angle BPQ=\angle APC+\angle ACP=90^{\circ}.
∴∠CPQ=90∘\therefore \angle CPQ=90^{\circ}，
即线段PCPC与线段PQPQ垂直；
(3)(3)①若△ACP\triangle ACP≌△BPQ\triangle BPQ，
则AC=BPAC=BP，AP=BQAP=BQ，
∴9−2t=7\therefore 9-2t=7，
解得，t=1(s)t=1\left(s\right)，则x=2(cm/s)x=2\left(cm/s\right)；
②若△ACP\triangle ACP≌△BQP\triangle BQP，
则AC=BQAC=BQ，AP=BPAP=BP，
则2t=12×92t=\frac{1}{2}\times 9，
解得，t=94(s)t=\frac{9}{4}\left(s\right)，则x=7÷94=289(cm/s)x=7\div \frac{9}{4}=\frac{28}{9}(cm/s)，
故当t=1st=1s，x=2cm/sx=2cm/s或t=94st=\frac{9}{4}s，x=289cm/sx=\frac{28}{9}cm/s时，△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等.

解析

(1)△ACP\left(1\right)\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等，
理由如下：当t=1t=1时，AP=BQ=2AP=BQ=2，
则BP=9−2=7BP=9-2=7，
∴BP=AC\therefore BP=AC，
又∵∠A=∠B=90∘\because \angle A=\angle B=90^{\circ}，
在△ACP\triangle ACP和△BPQ\triangle BPQ中，
{AP=BQ∠A=∠BCA=PB\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠A=∠B}\\{CA=PB}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△BPQ(SAS)\triangle BPQ\left(SAS\right)；
(2)PC⊥PQ(2)PC\bot PQ，
证明：∵△ACP\because \triangle ACP≌△BPQ\triangle BPQ，
∴∠ACP=∠BPQ\therefore \angle ACP=\angle BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90∘\therefore \angle APC+\angle BPQ=\angle APC+\angle ACP=90^{\circ}.
∴∠CPQ=90∘\therefore \angle CPQ=90^{\circ}，
即线段PCPC与线段PQPQ垂直；
(3)(3)①若△ACP\triangle ACP≌△BPQ\triangle BPQ，
则AC=BPAC=BP，AP=BQAP=BQ，
∴9−2t=7\therefore 9-2t=7，
解得，t=1(s)t=1\left(s\right)，则x=2(cm/s)x=2\left(cm/s\right)；
②若△ACP\triangle ACP≌△BQP\triangle BQP，
则AC=BQAC=BQ，AP=BPAP=BP，
则2t=12×92t=\frac{1}{2}\times 9，
解得，t=94(s)t=\frac{9}{4}\left(s\right)，则x=7÷94=289(cm/s)x=7\div \frac{9}{4}=\frac{28}{9}(cm/s)，
故当t=1st=1s，x=2cm/sx=2cm/s或t=94st=\frac{9}{4}s，x=289cm/sx=\frac{28}{9}cm/s时，△ACP\triangle ACP与△BPQ\triangle BPQ全等.

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