D

①数轴上表示$x$、$-2$的两点之间的距离表示为$|x-\left(-2\right)|=|x+2|$，正确，
②当$x \lt -1$时，$|x-3|+|x+1|=-x+3+\left(-x-1\right)=8$，解得：$x=-3$，
当$-1\leqslant x\leqslant 0$时，$|x-3|+|x+1|=-x+3+x+1\neq 8$，等式不成立，故舍去，
当$0 \lt x\leqslant 3$时，$|x-3|+|x+1|=3-x+x+1\neq 8$，等式不成立，故舍去，
当$x \gt 3$时，$|x-3|+|x+1|=x-3+x+1=8$，解得：$x=5$，
$\therefore$若$|x-3|+|x+1|=8$，则$x=-3$或$x=5$，错误，
③未说明$x$是整数，错误，
④$|x-1|+|x+a|\geqslant |\left(x-1\right)-\left(x+a\right)|=|-1-a|=|a+1|$，
$\because |x-1|+|x+a|$的最小值是$2$，
$\therefore |a+1|=2$，解得：$a=-3$或$a=1$，错误，
故选：$D$.