$\left(1\right)\because -a$与$a$互为相反数，
$\therefore -a$在原点的左侧，且到原点的距离等于$a$到原点的距离，
$a+1$表示点$A$向右移动$1$个单位长度得到的数，
故在数轴上表示$-a$和$a+1$的点如图所示；

$(2)$由图可知，$0 \lt a \lt 1$，
当$b$在$-1$的左边时，$b\times 1 \lt ab \lt 0$，满足题意；
当$b$在$-1$与$0$之间时，$b\times 1 \lt ab \lt 0$，满足题意；
当$b$在$0$和$a$之间时，$0 \lt ab \lt b\times 1$，数$ab$表示的点不在$a$，$b$之间，不符合题意；
当$b$在$a$和$1$之间时，$0 \lt ab \lt a\times 1$，数$ab$表示的点不在$a$，$b$两点之间，不符合题意；
当$b$在$1$的右边，$a\times 1 \lt ab \lt b\times 1$，满足题意，
故答案为：①②④.

$\left(1\right)\because -a$与$a$互为相反数，
$\therefore -a$在原点的左侧，且到原点的距离等于$a$到原点的距离，
$a+1$表示点$A$向右移动$1$个单位长度得到的数，
故在数轴上表示$-a$和$a+1$的点如图所示；

$(2)$由图可知，$0 \lt a \lt 1$，
当$b$在$-1$的左边时，$b\times 1 \lt ab \lt 0$，满足题意；
当$b$在$-1$与$0$之间时，$b\times 1 \lt ab \lt 0$，满足题意；
当$b$在$0$和$a$之间时，$0 \lt ab \lt b\times 1$，数$ab$表示的点不在$a$，$b$之间，不符合题意；
当$b$在$a$和$1$之间时，$0 \lt ab \lt a\times 1$，数$ab$表示的点不在$a$，$b$两点之间，不符合题意；
当$b$在$1$的右边，$a\times 1 \lt ab \lt b\times 1$，满足题意，
故答案为：①②④.