如图,在矩形$ABCD$中,点$O$是对角线$AC$的中点,点$E$是直线$AB$上一点,点$F$是直线$BC$上一点,且$\angle EOF=90^{\circ}$,连接$EF$.
$(1)$如图$1$,若点$E$在$AB$中点处,且$AB=8$,$AD=6$,求$EF$的长:
$(2)$如图$2$,若点$E$在$BA$的延长线上,其他条件不变,求证:$EF^{2}-CF^{2}=AE^{2}$；
$(3)$如图$3$,若点$E$在$AB$的延长线上,且$AE=AC$,$\angle BAC=30^{\circ}$,$BC=1$,请直接写出线段$EF^{2}$的值.