（1）如图$1$中，
$\because \triangle ABC$，$\triangle AEF$都是等边三角形，
$\therefore \angle ABC=\angle BAC=\angle EAF=60^{\circ}$，$AB=AC$，$AE=AF$，
即$\angle BAE+\angle EAC=\angle EAC+\angle CAF$，
$\therefore \angle BAE=\angle CAF$，
在$\triangle BAE$和$\triangle CAF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAE$≌$\triangle CAF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACF=60^{\circ}$；
$(2)$①$FE=FC$，
证明：如图$2$中，连接$CD$，取$BC$的中点$T$，连接$DT$，$FT$，

$\because BD=AD$，$BT=CT$，$AB=BC$，
$\therefore BD=BT$，
$\because \angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDT$是等边三角形，
$\because \triangle DEF$是等边三角形，
$\therefore$同（1）法可证$,\triangle BDE$≌$\triangle TDF\left(SAS\right)$，
$\therefore BE=FT$，$\angle B=\angle DTF=60^{\circ}$，
$\because \angle BTD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle FTC=\angle B=60^{\circ}$，
$\because BD=TC$，$\angle B=\angle FTC$，$BE=TF$，
$\therefore \triangle BDE$≌$\triangle TCF\left(SAS\right)$，
$\therefore DE=CF$，
$\because EF=DE$，
$\therefore FE=FC$；
②如图，连接$CD$，以$CD$为边向外作等边三角形$DNC$，取$BC$的中点$M$，连接$NM$，
所以点$F$的运动轨迹是$MN$，
$\because CD=CN$，$\angle CDB=\angle NCM=90^{\circ}$，$BD=CM$，
$\therefore \triangle CDB$≌$\triangle NCM\left(SAS\right)$，
$\therefore BC=MN=4$，

$\therefore$点$F$的运动轨迹的长度为$4$.

（1）如图$1$中，
$\because \triangle ABC$，$\triangle AEF$都是等边三角形，
$\therefore \angle ABC=\angle BAC=\angle EAF=60^{\circ}$，$AB=AC$，$AE=AF$，
即$\angle BAE+\angle EAC=\angle EAC+\angle CAF$，
$\therefore \angle BAE=\angle CAF$，
在$\triangle BAE$和$\triangle CAF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAE$≌$\triangle CAF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACF=60^{\circ}$；
$(2)$①$FE=FC$，
证明：如图$2$中，连接$CD$，取$BC$的中点$T$，连接$DT$，$FT$，

$\because BD=AD$，$BT=CT$，$AB=BC$，
$\therefore BD=BT$，
$\because \angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDT$是等边三角形，
$\because \triangle DEF$是等边三角形，
$\therefore$同（1）法可证$,\triangle BDE$≌$\triangle TDF\left(SAS\right)$，
$\therefore BE=FT$，$\angle B=\angle DTF=60^{\circ}$，
$\because \angle BTD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle FTC=\angle B=60^{\circ}$，
$\because BD=TC$，$\angle B=\angle FTC$，$BE=TF$，
$\therefore \triangle BDE$≌$\triangle TCF\left(SAS\right)$，
$\therefore DE=CF$，
$\because EF=DE$，
$\therefore FE=FC$；
②如图，连接$CD$，以$CD$为边向外作等边三角形$DNC$，取$BC$的中点$M$，连接$NM$，
所以点$F$的运动轨迹是$MN$，
$\because CD=CN$，$\angle CDB=\angle NCM=90^{\circ}$，$BD=CM$，
$\therefore \triangle CDB$≌$\triangle NCM\left(SAS\right)$，
$\therefore BC=MN=4$，

$\therefore$点$F$的运动轨迹的长度为$4$.