阅读并解决相应问题:

$(1)$问题发现:
在数轴上,点$A$表示的数为$-2$,点$B$表示的数为$3$,若在数轴上存在一点$P$,使得点$P$到点$A$的距离与点$P$到点$B$的距离之和等于$s$,则称点$P$为点$A$、$B$的"$s$和点".如图$1$,若点$P$表示的数为$\frac{1}{2}$,有点$P$到点$A$的距离与点$P$到点$B$的距离之和为$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$,则称点$P$为点$A$、$B$的"$5$和点".填空:
①若点$P$表示的数为$1$,则$s$的值为______.
②数轴上表示整数的点称为整点,若整点$P$为$A$、$B$的"$5$和点",请直接写出整点$P$所表示的数.
$(2)$类比探究:
如图$2$,若点$P$为数轴上一点,且点$P$到点$A$的距离为$3$,请你求出点$P$表示的数及$s$的值,并说明理由.
$(3)$拓展延伸:
在$\left(1\right)\left(2\right)$的条件下,若点$P$在数轴上运动（不与点$A$、$B$重合）,满足点$P$到点$A$的距离等于点$P$到点$B$的距离的$\frac{2}{3}$,且此时点$P$为点$A$、$B$的"$s$的和点",求点$P$表示的数及$s$的值.