D

①$\because AB=AC$，$BE=AF=a$，
$\therefore AE=CF=b$，
$\because$点$E$，$F$分别在直角边$AB$，$AC$上运动（不与端点重合），
$\therefore AF+AE \gt EF$，
即$a+b \gt c$，
故结论①正确；
②$\because \angle A=90^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle AFE$中，$AF=a$，$AE=b$，$EF=c$，
由勾股定理得：$AF^{2}+AE^{2}=EF^{2}$，
即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
故结论②正确；
③连接$AD$，设$AD=h$，如图所示：

在$\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，$AB=AC$，点$D$为斜边$BC$上的中点，
$\therefore AD\bot BC$，$AD=CD=BD=h$，
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理得：$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，
$\therefore 2h^{2}=\left(a+b\right)^{2}$，
$\therefore h^{2}=\frac{1}{2}(a+b)^{2}$，
即$h=\frac{\sqrt{2}(a+b)}{2}$，
$\because c^{2}=a^{2}+b^{2}$，
$\therefore c^{2}-h^{2}=(a^{2}+b^{2})-\frac{1}{2}(a+b)^{2}=\frac{1}{2}(a-b)^{2}\geqslant 0$，
当且仅当$a=b$时，即点$E$，$F$分别为$AB$，$AC$的中点时，$\frac{1}{2}(a-b)^{2}=0$，
此时$c=h$，即$c=\frac{\sqrt{2}(a+b)}{2}$，
当$a\neq b$时，即点$E$，$F$不是$AB$，$AC$的中点时，$\frac{1}{2}(a-b)^{2}\geqslant 0$，
此时$c \gt h$，即$c \gt \frac{\sqrt{2}(a+b)}{2}$，
$\therefore c\geqslant \frac{\sqrt{2}(a+b)}{2}$，且等号可以取到，
故结论③正确.
综上所述：正确的结论是①②③.
故选：$D$.