$\because \left(a-1\right)^{2}+|b-2|=0$，
$\therefore a-1=0$，$b-2=0$，
$\therefore a=1$，$b=2$，
$\because a$、$b$为等腰三角形的边长，
$\therefore$有两种情况：
①当三边为$1$，$1$，$2$时，$1+1=2$，不符合三角形的三边关系定理，不能组成等腰三角形；
②当三边为$1$，$2$，$2$时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此时三角形的周长为$1+2+2=5$；
所以等腰三角形的周长是$5$，
故答案为：$5$.

$\because \left(a-1\right)^{2}+|b-2|=0$，
$\therefore a-1=0$，$b-2=0$，
$\therefore a=1$，$b=2$，
$\because a$、$b$为等腰三角形的边长，
$\therefore$有两种情况：
①当三边为$1$，$1$，$2$时，$1+1=2$，不符合三角形的三边关系定理，不能组成等腰三角形；
②当三边为$1$，$2$，$2$时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此时三角形的周长为$1+2+2=5$；
所以等腰三角形的周长是$5$，
故答案为：$5$.