阅读下列材料,并按要求完成相应的任务:
黄金分割:两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯$(Eudoxus$,约前$408$年$--$前$355$年）发现:如图$1$,将一条线段$AB$分割成长、短两条线段$AP$、$PB$,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比,即$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{AB}$（此时线段$AP$叫做线段$PB$,$AB$的比例中项）,则可得出这一比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}(0.618\ldots )$.这种分割称为黄金分割,这个比值称为黄金比,点$P$叫做线段$AB$的黄金分割点.
采用如下方法可以得到黄金分割点:如图$2$,设$AB$是已知线段,经过点$B$作$BD\bot AB$于点$B$,且使$BD=\frac{1}{2}AB$,连接$DA$,在$DA$.上截取$DE=DB$,在$AB$上截取$AC=AE$,$C$就是线段$AB$的黄金分割点.任务:

$(1)$求证:$C$是线段$AB$的黄金分割点.
$(2)$若$BD=1$,则$BC$的长为______.