$(1)\because OB=4OA$，$AB=BC=10$，
$\therefore OA=10\times \frac{1}{5}=2$，$OB=AB-OA=8$，
$\because$点$A$在$x$轴负半轴上，点$B$在$x$轴正半轴上，
$\therefore A\left(-2,0\right)$，$B\left(8,0\right)$.
$(2)$存在，
如图，当点$P$在$BC$上时，过点$O$作$OD\bot BC$于$D$，

$\because AB=10$，$OC=6$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times OC=\frac{1}{2}\times 10\times 6=30$，
$\therefore S_{\triangle COP}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=10$，
$\because S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}\times OB\times OC=\frac{1}{2}\times BC\times OD$，
$\therefore OD=\frac{OB×OC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$，
$\because$点$P$从点$C$出发，以每秒$2$个单位的速度沿$C\rightarrow B\rightarrow O$的方向运动，运动时间为$t$，
$\therefore CP=2t$，
$\therefore S_{\triangle COP}=\frac{1}{2}\times CP\times OD=\frac{1}{2}\times 2t\times \frac{24}{5}=10$，
解得：$t=\frac{25}{12}$，
如图，当点$P$在线段$BO$上时，

$\because$点$P$从点$C$出发，以每秒$2$个单位的速度沿$C\rightarrow B\rightarrow O$的方向运动，运动时间为$t$，
$\therefore OP=18-2t$，
$\therefore S_{\triangle COP}=\frac{1}{2}\times OP\times OC=\frac{1}{2}\times 6\times \left(18-2t\right)=10$，
解得：$t=\frac{22}{3}$
综上：$t$的值为$\frac{25}{12}$秒或$\frac{22}{3}$秒.

$(1)\because OB=4OA$，$AB=BC=10$，
$\therefore OA=10\times \frac{1}{5}=2$，$OB=AB-OA=8$，
$\because$点$A$在$x$轴负半轴上，点$B$在$x$轴正半轴上，
$\therefore A\left(-2,0\right)$，$B\left(8,0\right)$.
$(2)$存在，
如图，当点$P$在$BC$上时，过点$O$作$OD\bot BC$于$D$，

$\because AB=10$，$OC=6$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times OC=\frac{1}{2}\times 10\times 6=30$，
$\therefore S_{\triangle COP}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=10$，
$\because S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}\times OB\times OC=\frac{1}{2}\times BC\times OD$，
$\therefore OD=\frac{OB×OC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$，
$\because$点$P$从点$C$出发，以每秒$2$个单位的速度沿$C\rightarrow B\rightarrow O$的方向运动，运动时间为$t$，
$\therefore CP=2t$，
$\therefore S_{\triangle COP}=\frac{1}{2}\times CP\times OD=\frac{1}{2}\times 2t\times \frac{24}{5}=10$，
解得：$t=\frac{25}{12}$，
如图，当点$P$在线段$BO$上时，

$\because$点$P$从点$C$出发，以每秒$2$个单位的速度沿$C\rightarrow B\rightarrow O$的方向运动，运动时间为$t$，
$\therefore OP=18-2t$，
$\therefore S_{\triangle COP}=\frac{1}{2}\times OP\times OC=\frac{1}{2}\times 6\times \left(18-2t\right)=10$，
解得：$t=\frac{22}{3}$
综上：$t$的值为$\frac{25}{12}$秒或$\frac{22}{3}$秒.