A

$\because \triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$P$是$BC$中点，
$\therefore \angle B=\angle C=\angle BAP=\angle CAP=45^{\circ}$，$AP=PC=PB$，$\angle APC=\angle EPF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPF-\angle APF=\angle APC-\angle APF$，
$\therefore \angle APE=\angle CPF$，
在$\triangle APE$和$\triangle CPF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C=45°}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠CPE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle APE$≌$\triangle CPF\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=CF$，$EP=PF$，
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形，
$\therefore$①正确；②正确；
$\because \triangle APE$≌$\triangle CPF$，
$\therefore S_{APE}=S_{\triangle CPF}$，
$\therefore S_{四边形AEPF}=S_{\triangle AEP}+S_{\triangle APF}=S_{\triangle CPF}+S_{\triangle APF}=S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
$\therefore$③正确；
$\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，$P$是$BC$的中点，
$\therefore AP=\frac{1}{2}BC$，
$\because EF$不是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore EF\neq AP$，
故④错误；
即正确的有①②③，
故选：$A$.