$\left(1\right)\because |a-4|+\left(b+8\right)^{2}=0$，

$\therefore a-4=0$，$b+8=0$，

$\therefore a=4$，$b=-8$，

$\therefore$线段$AB$的长为$|a-b|=|4-\left(-8\right)|=12$.

故答案为：$4$，$-8$，$12$；

$(2)$设点$C$在数轴上表示的数为$x$，

根据题意得：$|x-4|=3|x-\left(-8\right)|$，

即$x-4=3x+24$或$4-x=3x+24$，

解得：$x=-14$或$x=-5$，

$\therefore$点$C$在数轴上表示的数为$-14$或$-5$.

故答案为：$-14$或$-5$；

$(3)12\div 3=4(秒)$，

当运动时间为$t\left(0\leqslant t\leqslant 4\right)$秒时，点$P$在数轴上表示的数为$-8+\left(t+5\right)=t-3$，点$Q$在数轴上表示的数为$-8+3t$.

①根据题意得：$|t-3-\left(-8+3t\right)|=4$，

即$5-2t=4$或$2t-5=4$，

解得：$t=\frac{1}{2}$或$t=\frac{9}{2}$（舍去）

答：当$t$为$\frac{1}{2}$时，$P$、$Q$两点相距$4$个单位长度；

②根据题意得：$|t-3-0|=|-8+3t-0|$，

即$t-3=8-3t$或$t-3=3t-8$，

解得：$t=\frac{11}{4}$或$t=\frac{5}{2}$.

答：当$t$为$\frac{11}{4}$或$\frac{5}{2}$时，$P$、$Q$两点到原点的距离相等.

$\left(1\right)\because |a-4|+\left(b+8\right)^{2}=0$，

$\therefore a-4=0$，$b+8=0$，

$\therefore a=4$，$b=-8$，

$\therefore$线段$AB$的长为$|a-b|=|4-\left(-8\right)|=12$.

故答案为：$4$，$-8$，$12$；

$(2)$设点$C$在数轴上表示的数为$x$，

根据题意得：$|x-4|=3|x-\left(-8\right)|$，

即$x-4=3x+24$或$4-x=3x+24$，

解得：$x=-14$或$x=-5$，

$\therefore$点$C$在数轴上表示的数为$-14$或$-5$.

故答案为：$-14$或$-5$；

$(3)12\div 3=4(秒)$，

当运动时间为$t\left(0\leqslant t\leqslant 4\right)$秒时，点$P$在数轴上表示的数为$-8+\left(t+5\right)=t-3$，点$Q$在数轴上表示的数为$-8+3t$.

①根据题意得：$|t-3-\left(-8+3t\right)|=4$，

即$5-2t=4$或$2t-5=4$，

解得：$t=\frac{1}{2}$或$t=\frac{9}{2}$（舍去）

答：当$t$为$\frac{1}{2}$时，$P$、$Q$两点相距$4$个单位长度；

②根据题意得：$|t-3-0|=|-8+3t-0|$，

即$t-3=8-3t$或$t-3=3t-8$，

解得：$t=\frac{11}{4}$或$t=\frac{5}{2}$.

答：当$t$为$\frac{11}{4}$或$\frac{5}{2}$时，$P$、$Q$两点到原点的距离相等.