$\because a$是最小的正整数，
$\therefore a=1$，
$\because b$是绝对值最小的有理数，
$\therefore b=0$，
$\because c$在数轴上对应的点到原点的距离是$6$，
$\therefore c=\pm 6$，
当$c=6$时，$a-b+c$
$=1-0+6$
$=7$；
当$c=-6$时，$a-b+c$
$=1-0-6$
$=-5$.

$\because a$是最小的正整数，
$\therefore a=1$，
$\because b$是绝对值最小的有理数，
$\therefore b=0$，
$\because c$在数轴上对应的点到原点的距离是$6$，
$\therefore c=\pm 6$，
当$c=6$时，$a-b+c$
$=1-0+6$
$=7$；
当$c=-6$时，$a-b+c$
$=1-0-6$
$=-5$.