$|x+4|+|x-3|+|x-a|$的几何意义是：数轴上表示数$x$的点到表示数$-4$，$3$，$a$的点的距离之和，
①当$a \lt -4$时，
当$x=-4$时，$|x+4|+|x-3|+|x-a|$有最小值，即：$7+|a+4|=10$，解得：$a=-7$或$a=-1(舍去)$；
②当$-4\leqslant a\leqslant 3$时，
当$x=a$时，$|x+4|+|x-3|+|x-a|$有最小值，即：$|x+4|+|x-3|+|x-a|=7$，不符合题意；
③当$a \gt 3$时，
当$x=3$时，$|x+4|+|x-3|+|x-a|$有最小值，即：$7+|a-3|=10$，解得：$a=6$或$a=0(舍去)$；
综上，当$a=-7$或$a=6$时，$|x+4|+|x-3|+|x-a|$的最小值是$10$.
故答案为：$-7$或$6$.

$|x+4|+|x-3|+|x-a|$的几何意义是：数轴上表示数$x$的点到表示数$-4$，$3$，$a$的点的距离之和，
①当$a \lt -4$时，
当$x=-4$时，$|x+4|+|x-3|+|x-a|$有最小值，即：$7+|a+4|=10$，解得：$a=-7$或$a=-1(舍去)$；
②当$-4\leqslant a\leqslant 3$时，
当$x=a$时，$|x+4|+|x-3|+|x-a|$有最小值，即：$|x+4|+|x-3|+|x-a|=7$，不符合题意；
③当$a \gt 3$时，
当$x=3$时，$|x+4|+|x-3|+|x-a|$有最小值，即：$7+|a-3|=10$，解得：$a=6$或$a=0(舍去)$；
综上，当$a=-7$或$a=6$时，$|x+4|+|x-3|+|x-a|$的最小值是$10$.
故答案为：$-7$或$6$.