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八年级数学解答题一般
题目
如图,ADAD为△ABC\triangle ABC的中线,分别以ABAB和ACAC为一边在△ABC\triangle ABC的外部作等腰三角形ABEABE和等腰三角形ACFACF,且AE=ABAE=AB,AF=ACAF=AC,连接EFEF,∠EAF+∠BAC=180∘\angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}.
(1)(1)若∠ABE=63∘\angle ABE=63^{\circ},∠BAC=45∘\angle BAC=45^{\circ},求∠FAC\angle FAC的度数；
(2)(2)延长ADAD至点HH,使DH=ADDH=AD,连接BHBH,求证:∠ABH+∠BAC=180∘\angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}；
(3)(3)在（2）的条件下,请直接写出线段EFEF和线段ADAD之间的数量关系.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)∵AE=AB\because AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=63∘\therefore \angle AEB=\angle ABE=63^{\circ}，
∴∠EAB=54∘\therefore \angle EAB=54^{\circ}，
∵∠BAC=45∘\because \angle BAC=45^{\circ}，∠EAF+∠BAC=180∘\angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180∘\therefore \angle EAB+2\angle BAC+\angle FAC=180^{\circ}，
∴54∘+2×45∘+∠FAC=180∘\therefore 54^{\circ}+2\times 45^{\circ}+\angle FAC=180^{\circ}，
∴∠FAC=36∘\therefore \angle FAC=36^{\circ}；
(2)(2)证明：∵AD\because AD为△ABC\triangle ABC的中线，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
在△BDH\triangle BDH和△CDA\triangle CDA中.
{BD=CD∠BDH=∠CDADH=DA\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDH=∠CDA}\\{DH=DA}\end{array}\right.，
∴△BDH\therefore \triangle BDH≌△CDA(SAS)\triangle CDA\left(SAS\right)，
∴∠BHD=∠CAD\therefore \angle BHD=\angle CAD，
∴AC\therefore AC∥BHBH，
∴∠ABH+∠BAC=180∘\therefore \angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}；
(3)(3)EF=2ADEF=2AD，
由（2）知△BDH\triangle BDH≌△CDA\triangle CDA，
∴BH=AC\therefore BH=AC，
∵AC=AF\because AC=AF，
∴AF=BH\therefore AF=BH，
由（2）知∠ABH+∠BAC=180∘\angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAF=∠ABH\therefore \angle EAF=\angle ABH，
在△EAF\triangle EAF和△ABH\triangle ABH中，
{AE=AB∠EAF=∠ABHAF=BH\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAF=∠ABH}\\{AF=BH}\end{array}\right.，
∴△EAF\therefore \triangle EAF≌△ABH(SAS)\triangle ABH\left(SAS\right)，
∴EF=AH=2AD\therefore EF=AH=2AD.

解析

(1)(1)∵AE=AB\because AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=63∘\therefore \angle AEB=\angle ABE=63^{\circ}，
∴∠EAB=54∘\therefore \angle EAB=54^{\circ}，
∵∠BAC=45∘\because \angle BAC=45^{\circ}，∠EAF+∠BAC=180∘\angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180∘\therefore \angle EAB+2\angle BAC+\angle FAC=180^{\circ}，
∴54∘+2×45∘+∠FAC=180∘\therefore 54^{\circ}+2\times 45^{\circ}+\angle FAC=180^{\circ}，
∴∠FAC=36∘\therefore \angle FAC=36^{\circ}；
(2)(2)证明：∵AD\because AD为△ABC\triangle ABC的中线，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
在△BDH\triangle BDH和△CDA\triangle CDA中.
{BD=CD∠BDH=∠CDADH=DA\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDH=∠CDA}\\{DH=DA}\end{array}\right.，
∴△BDH\therefore \triangle BDH≌△CDA(SAS)\triangle CDA\left(SAS\right)，
∴∠BHD=∠CAD\therefore \angle BHD=\angle CAD，
∴AC\therefore AC∥BHBH，
∴∠ABH+∠BAC=180∘\therefore \angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}；
(3)(3)EF=2ADEF=2AD，
由（2）知△BDH\triangle BDH≌△CDA\triangle CDA，
∴BH=AC\therefore BH=AC，
∵AC=AF\because AC=AF，
∴AF=BH\therefore AF=BH，
由（2）知∠ABH+∠BAC=180∘\angle ABH+\angle BAC=180^{\circ}，
∵∠EAF+∠BAC=180∘\because \angle EAF+\angle BAC=180^{\circ}，
∴∠EAF=∠ABH\therefore \angle EAF=\angle ABH，
在△EAF\triangle EAF和△ABH\triangle ABH中，
{AE=AB∠EAF=∠ABHAF=BH\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAF=∠ABH}\\{AF=BH}\end{array}\right.，
∴△EAF\therefore \triangle EAF≌△ABH(SAS)\triangle ABH\left(SAS\right)，
∴EF=AH=2AD\therefore EF=AH=2AD.

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