综合与实践
问题情境:
综合实践课上,老师出示如下题目:如图$1$,$\triangle ABC$和$\triangle DBC$是等边三角形,点$E$是$AB$上一点,点$F$是$BC$延长线上一点,$BE=CF$.连接$DE$,$DF$,$DE$交$BC$于点$G$,试判断$DE$与$DF$的数量关系,并说明理由.
数学思考:
$(1)$请你解决老师提出的问题.
拓展探究:
$(2)$在图$1$的基础上,"睿智小组"提出了新的问题:如图$2$,连接$EF$,试判断$\triangle DEF$的形状,并说明理由；请你解决此问题.
$(3)$在图$2$的基础上,"奋进小组"提出了新的问题:延长$DC$,交$EF$于点$P$,得到图$3$,他们认为:$EG=PF$.请你利用图$3$判断他们的说法是否正确,并说明理由.