题目综合与实践
问题情境:
综合实践课上,老师出示如下题目:如图
1,
△ABC和
△DBC是等边三角形,点
E是
AB上一点,点
F是
BC延长线上一点,
BE=CF.连接
DE,
DF,
DE交
BC于点
G,试判断
DE与
DF的数量关系,并说明理由.
数学思考:
(1)请你解决老师提出的问题.
拓展探究:
(2)在图
1的基础上,"睿智小组"提出了新的问题:如图
2,连接
EF,试判断
△DEF的形状,并说明理由；请你解决此问题.
(3)在图
2的基础上,"奋进小组"提出了新的问题:延长
DC,交
EF于点
P,得到图
3,他们认为:
EG=PF.请你利用图
3判断他们的说法是否正确,并说明理由.
知识点：三角形、三角形的三边关系、全等三角形的判定、旋转的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
(1)DE=DF，理由如下：
∵△ABC和
△DBC是等边三角形，
∴BD=DC，
∠ABC=∠DBC=∠DCB=60∘，
∴∠DBE=∠DCF=120∘，
又
∵BE=CF，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴DE=DF；
(2)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵△BDE≌△CDF，
∴∠BDE=∠CDF，
DE=DF，
∴∠EDF=∠BDC=60∘，
∴△DEF是等边三角形；
(3)判断正确，理由如下：
∵△DEF是等边三角形，
∴ED=DF=EF，
∠FED=∠EDF=60∘，
∴∠BCD=∠EDF=60∘，
∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠CFD，
∴∠EDC=∠CFD，
∴△DGF≌△EPD(ASA)，
∴DG=EP，
∴DE−DG=EF−EP，
∴EG=PF.
解析
(1)DE=DF，理由如下：
∵△ABC和
△DBC是等边三角形，
∴BD=DC，
∠ABC=∠DBC=∠DCB=60∘，
∴∠DBE=∠DCF=120∘，
又
∵BE=CF，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴DE=DF；
(2)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵△BDE≌△CDF，
∴∠BDE=∠CDF，
DE=DF，
∴∠EDF=∠BDC=60∘，
∴△DEF是等边三角形；
(3)判断正确，理由如下：
∵△DEF是等边三角形，
∴ED=DF=EF，
∠FED=∠EDF=60∘，
∴∠BCD=∠EDF=60∘，
∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠CFD，
∴∠EDC=∠CFD，
∴△DGF≌△EPD(ASA)，
∴DG=EP，
∴DE−DG=EF−EP，
∴EG=PF.
