圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从$A$顺着圆柱侧面绕$3$圈到$B$的运动最短路线的长是：$AC+EF+DB$；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成$3$个小长方形，$A$沿着$3$个长方形的对角线运动到$B$的路线最短；
$\because$长方形的宽即是圆柱体的底面周长是$4cm$；
又$\because$圆柱高为$9cm$，
$\therefore$小长方形的一条边长是$3cm$；
根据勾股定理求得$AC=EF=DB=5cm$；
$\therefore AC+EF+DB=15cm$；
故答案为：$15$.

圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从$A$顺着圆柱侧面绕$3$圈到$B$的运动最短路线的长是：$AC+EF+DB$；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成$3$个小长方形，$A$沿着$3$个长方形的对角线运动到$B$的路线最短；
$\because$长方形的宽即是圆柱体的底面周长是$4cm$；
又$\because$圆柱高为$9cm$，
$\therefore$小长方形的一条边长是$3cm$；
根据勾股定理求得$AC=EF=DB=5cm$；
$\therefore AC+EF+DB=15cm$；
故答案为：$15$.