题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
九年级数学填空题一般
题目
同学们学习了线段的黄金分割之后,曾老师提出了一个新的定义:点CC是线段ABAB上一点,若BCnAC=nACAB=kn\frac{BC}{\sqrt{n}AC}=\frac{\sqrt{n}AC}{AB}=k_n,则称点CC为线段ABAB的"近AA,nn阶黄金分割点".例如:若BC2AC=2ACAB=k2\frac{BC}{\sqrt{2}AC}=\frac{\sqrt{2}AC}{AB}=k_2,则称点CC为线段ABAB的"近AA,22阶黄金分割点".若点CC为线段ABAB的"近AA,11阶黄金分割点"时,k1=k_{1}=______；若点CC为线段ABAB的"近AA,66阶黄金分割点"时,k6=______.k_{6}= \_\_\_\_\_\_.
知识点：比例线段章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

∵\because点CC为线段ABAB的“近AA，11阶黄金分割点”时，
∴BCAC=ACAB=k1\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}=k_{1}，
∴BC=k1AC\therefore BC=k_{1}AC，
∵AB=BC+AC=k1AC+AC\because AB=BC+AC=k_{1}AC+AC，
∴ACk1AC+AC=k1\therefore \frac{AC}{{k}_{1}AC+AC}=k_{1}，
整理得k12+k1−1=0{k}_{1}^{2}+k_{1}-1=0，
∵k1>0\because k_{1} \gt 0，
解得k1=5−12k_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
经检验，k1=5−12k_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}是原方程的解；
∵\because点CC为线段ABAB的“近AA，66阶黄金分割点”，
∴BC6AC=6ACAB=k6\therefore \frac{BC}{\sqrt{6}AC}=\frac{\sqrt{6}AC}{AB}=k_{6}，
∴BC=6k6AC\therefore BC=\sqrt{6}k_{6}AC，
∵\because点CC是线段ABAB上一点，
∴AB=BC+AC=6k6AC+AC\therefore AB=BC+AC=\sqrt{6}k_{6}AC+AC，
∵6AC6k6AC+AC=k6\because \frac{\sqrt{6}AC}{\sqrt{6}{k}_{6}AC+AC}=k_{6}，
整理得：6k62+k6−6=0\sqrt{6}{k}_{6}^{2}+k_{6}-\sqrt{6}=0，
∵k6>0\because k_{6} \gt 0，
解得：k6=63k_{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
经检验，k6=63k_{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}是原方程的解.
故答案为：5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}；63\frac{\sqrt{6}}{3}.

解析

∵\because点CC为线段ABAB的“近AA，11阶黄金分割点”时，
∴BCAC=ACAB=k1\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}=k_{1}，
∴BC=k1AC\therefore BC=k_{1}AC，
∵AB=BC+AC=k1AC+AC\because AB=BC+AC=k_{1}AC+AC，
∴ACk1AC+AC=k1\therefore \frac{AC}{{k}_{1}AC+AC}=k_{1}，
整理得k12+k1−1=0{k}_{1}^{2}+k_{1}-1=0，
∵k1>0\because k_{1} \gt 0，
解得k1=5−12k_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
经检验，k1=5−12k_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}是原方程的解；
∵\because点CC为线段ABAB的“近AA，66阶黄金分割点”，
∴BC6AC=6ACAB=k6\therefore \frac{BC}{\sqrt{6}AC}=\frac{\sqrt{6}AC}{AB}=k_{6}，
∴BC=6k6AC\therefore BC=\sqrt{6}k_{6}AC，
∵\because点CC是线段ABAB上一点，
∴AB=BC+AC=6k6AC+AC\therefore AB=BC+AC=\sqrt{6}k_{6}AC+AC，
∵6AC6k6AC+AC=k6\because \frac{\sqrt{6}AC}{\sqrt{6}{k}_{6}AC+AC}=k_{6}，
整理得：6k62+k6−6=0\sqrt{6}{k}_{6}^{2}+k_{6}-\sqrt{6}=0，
∵k6>0\because k_{6} \gt 0，
解得：k6=63k_{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
经检验，k6=63k_{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}是原方程的解.
故答案为：5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}；63\frac{\sqrt{6}}{3}.

AI 自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →