$\left(1\right)\because$数轴上数$x$到原点的距离为$4$，

$\therefore x$在原点左边$4$个单位时，$x$的值为$-4$，$x$在原点右边$4$个单位时，$x$的值为$4$，

故答案为：$-4$，$4$；

$(2)$根据题意：$x$与$3$之间的距离表示为$|x-3|$，

当$x-3=2$时，$x=5$；当$3-x=2$时，$x=1$；

故答案为：$|x-3|$，$5$或$1$；

$(3)$当$x \lt 2$时，$5-x+2-x=7$，

解得：$x=0$，

当$2\leqslant x\leqslant 5$时，$5-x+x-2=3\neq 7(舍去)$，

当$x \gt 5$时，$x-5+x-2=7$，

解得：$x=7$，

综上可知：当x=0或7时，代数式$|x-5|+|x-2|=7$，

故答案为：0或7；

$(4)\because$点$A$表示的数$-1$，点$B$与点$A$的距离是$5$，且点$B$在点$A$的右侧，

$\therefore$点$B$表示的数$4$，

设运动时间为$t$秒，

$\because P$、$Q$分别从$A$、$B$同时出发沿数轴正方向运动，点$P$的速度是每秒$3$个单位长度，点$Q$的速度是每秒$1$个单位长度，

$\therefore$点$P$表示的数为$-1+3t$，点$Q$表示的数为$4+t$，

$\because PQ=1$，

$\therefore$①当$P$在$Q$左侧时，

$4+t-\left(-1+3t\right)=1$，

解得：$t=2$；

②当$P$在$Q$右侧时，

$-1+3t-\left(4+t\right)=1$，

解得：$t=3$；

$\therefore$运动$2$或$3$秒后，$PQ=1$.

$\left(1\right)\because$数轴上数$x$到原点的距离为$4$，

$\therefore x$在原点左边$4$个单位时，$x$的值为$-4$，$x$在原点右边$4$个单位时，$x$的值为$4$，

故答案为：$-4$，$4$；

$(2)$根据题意：$x$与$3$之间的距离表示为$|x-3|$，

当$x-3=2$时，$x=5$；当$3-x=2$时，$x=1$；

故答案为：$|x-3|$，$5$或$1$；

$(3)$当$x \lt 2$时，$5-x+2-x=7$，

解得：$x=0$，

当$2\leqslant x\leqslant 5$时，$5-x+x-2=3\neq 7(舍去)$，

当$x \gt 5$时，$x-5+x-2=7$，

解得：$x=7$，

综上可知：当x=0或7时，代数式$|x-5|+|x-2|=7$，

故答案为：0或7；

$(4)\because$点$A$表示的数$-1$，点$B$与点$A$的距离是$5$，且点$B$在点$A$的右侧，

$\therefore$点$B$表示的数$4$，

设运动时间为$t$秒，

$\because P$、$Q$分别从$A$、$B$同时出发沿数轴正方向运动，点$P$的速度是每秒$3$个单位长度，点$Q$的速度是每秒$1$个单位长度，

$\therefore$点$P$表示的数为$-1+3t$，点$Q$表示的数为$4+t$，

$\because PQ=1$，

$\therefore$①当$P$在$Q$左侧时，

$4+t-\left(-1+3t\right)=1$，

解得：$t=2$；

②当$P$在$Q$右侧时，

$-1+3t-\left(4+t\right)=1$，

解得：$t=3$；

$\therefore$运动$2$或$3$秒后，$PQ=1$.