A

$\because$点$C$是线段$AB$的中点，
$\therefore 2c=a+b$，
$\because |a+b|=|a+b+2c|+|b-2c|-|a-2c|$，
$\therefore |2c|=|4c|+|a|-|b|$，
$\therefore |b|-|a|=2|c|$，
①当$a \gt 0$时，$b-a=2c=a+b$，
$\therefore a=0(舍)$，
②当$c \gt 0$，$a \lt 0$时，$b+a=2c$，符合题意，
③当$b \gt 0$，$c \lt 0$时，$a+b=-2c$不合题意，
④当$b \lt 0$时，$a-b=-2c$不合题意，
$\therefore O$点在$A$、$C$之间，
故选：$A$.