当$F$在线段$DA$的延长线上，如图$1$，作$OM$∥$AB$交$AD$于$M$，

$\because O$为等边$\triangle ABD$的边$BD$的中点，
$\therefore OB=OD=2.5$，$\angle D=\angle ABD=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ODM$为等边三角形，
$\therefore OM=MD=2.5$，$\angle OMD=60^{\circ}$，
$\therefore FM=FA+AM=4.5$，$\angle FMO=\angle BOM=120^{\circ}$，
$\because \angle EOF=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE=\angle FOM$，
而$\angle EBO=180^{\circ}-\angle ABD=120^{\circ}$，
$\therefore \triangle OMF$≌$\triangle OBE\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=MF=4.5$；
当$F$点在线段$AD$上，如图$2$，
同理可证明$\triangle OMF$≌$\triangle OBE$，
则$BE=MF=AM-AF=2.5-2=0.5$.
故答案为：$0.5$或$4.5$.

当$F$在线段$DA$的延长线上，如图$1$，作$OM$∥$AB$交$AD$于$M$，

$\because O$为等边$\triangle ABD$的边$BD$的中点，
$\therefore OB=OD=2.5$，$\angle D=\angle ABD=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ODM$为等边三角形，
$\therefore OM=MD=2.5$，$\angle OMD=60^{\circ}$，
$\therefore FM=FA+AM=4.5$，$\angle FMO=\angle BOM=120^{\circ}$，
$\because \angle EOF=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE=\angle FOM$，
而$\angle EBO=180^{\circ}-\angle ABD=120^{\circ}$，
$\therefore \triangle OMF$≌$\triangle OBE\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=MF=4.5$；
当$F$点在线段$AD$上，如图$2$，
同理可证明$\triangle OMF$≌$\triangle OBE$，
则$BE=MF=AM-AF=2.5-2=0.5$.
故答案为：$0.5$或$4.5$.