$(1)$如图$1$,在四边形$ADBC$中,$AB$与$CD$相交于点$O$,$AB=CD$,$E$,$F$分别是$BC$,$AD$的中点,连接$EF$,分别交$DC$,$AB$于点$M$,$N$,判断$\triangle OMN$的形状,并说明理由；
$(2)$如图$2$,在四边形$ABCD$中,$AB=CD$,$E$,$F$分别是$AD$,$BC$的中点,连接$FE$并延长,分别与$BA$,$CD$的延长线交于点$M$,$N$.求证:$\angle BME=\angle CNE$.