C

$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$P$是$BC$中点，
$\therefore \angle BAP=\angle CAP=45^{\circ}$，$AP\bot BC$，
$\therefore \triangle ABP$和$\triangle ACP$是等腰直角三角形，
$\therefore AP=CP$，$\angle BAP=\angle C=45^{\circ}$，
$\because \angle EPF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPA+\angle APF=90^{\circ}$，$\angle APF+\angle CPF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle APE=\angle CPF$，②正确；
$\therefore \triangle AEP$≌$\triangle CFP\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=CF$，$EP=PF$，①正确；
$\therefore \triangle EPF$是等腰直角三角形，③正确；
当$EF$是$\triangle ABC$的中位线时，可得$EF=\frac{1}{2}BC$，
$\because AP=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore$当$EF$是$\triangle ABC$的中位线时，$EF=AP$，
$\because EF$不一定是中位线，
$\therefore EF\neq AP$，④错误；
$\because \triangle AEP$≌$\triangle CFP$，
$\therefore S_{\triangle AEP}=S_{\triangle CFP}$，
$\therefore S_{四边形AEPF}=S_{\triangle AEP}+S_{\triangle APF}=S_{\triangle CFP}+S_{\triangle APF}=S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，⑤正确；
综上，正确的有$4$个，
故选：$C$.