阅读材料:我们知道:点$A$、$B$在数轴上分别表示有理数$a$、$b$,$A$、$B$两点之间的距离表示为$AB$,在数轴上$A$、$B$两点之间的距离$AB=|a-b|$.所以式子$|x-3|$的几何意义是数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数$3$的点之间的距离；同理$|x-4|$也可理解为$x$与$4$两数在数轴上所对应的两点之间的距离.
试探索:
$(1)$若$|x-2|=5$,则$x$的值是______.
$(2)$同理$|x-5|+|x+3|=8$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$5$和$-3$所对应的两点距离之和为$8$,则所有符合条件的整数$x$的和______.
$(3)$由以上探索猜想,若点$P$表示的数为$x$,当点$P$在数轴上什么位置时,$|x+1|+|x-3|+|x-5|$有最小值?如果有,直接写出最小值.