C

$\because$在$Rt\triangle AEB$中，$\angle AEB=90^{\circ}$，$AE=5$，$BE=12$，
由勾股定理得：$AB=13$，
正方形的面积是$13\times 13=169$，
$\triangle AEB$的面积是$\frac{1}{2}AE×BE=\frac{1}{2}×5×12=30$；
阴影部分的面积是$169-30=139$.
故选：$C$.