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八年级数学填空题一般
题目
在等边△ABC\triangle ABC中,点DD是边ACAC上的一定点,点EE是直线BCBC上的一动点,以DEDE为边在DEDE右侧作等边△DEF\triangle DEF,连接CFCF.
(1)(1)如图①,若点EE在线段BCBC上,且DE⊥BCDE\bot BC,垂足为EE.
①求证:CD=2CECD=2CE；
②求证:CE+CF=CDCE+CF=CD；
(2)(2)如图②,若点EE在线段CBCB上,在BCBC上截取CGCG,使CG=CDCG=CD,连接DGDG,则线段CECE、CFCF与CDCD之间的数量关系是______(不需证明)(不需证明)；
(3)(3)如图③,若点EE在CBCB的延长线上,请探究线段CECE、CFCF与CDCD之间的数量关系,并说明理由.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：①∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60∘\therefore \angle ACB=60^{\circ}，
∵DE⊥BC\because DE\bot BC于点EE，
∴∠DEC=90∘\therefore \angle DEC=90^{\circ}，
∴∠CDE=90∘−∠ACB=30∘\therefore \angle CDE=90^{\circ}-\angle ACB=30^{\circ}，
∴CD=2CE\therefore CD=2CE.
②∵△DEF\because \triangle DEF是等边三角形，
∴DE=DF\therefore DE=DF，∠EDF=60∘\angle EDF=60^{\circ}，
∵∠CDE=30∘\because \angle CDE=30^{\circ}，
∴∠CDF=∠EDF−∠CDF=30∘\therefore \angle CDF=\angle EDF-\angle CDF=30^{\circ}，
∴∠CDE=∠CDF\therefore \angle CDE=\angle CDF，
∴CD\therefore CD垂直平分EFEF，
∴CE=CF\therefore CE=CF，
∴CE+CF=2CE\therefore CE+CF=2CE，
∵CD=2CE\because CD=2CE，
∴CE+CF=CD\therefore CE+CF=CD.
(2)(2)∵CG=CD\because CG=CD，∠DCG=60∘\angle DCG=60^{\circ}，
∴△DGC\therefore \triangle DGC是等边三角形，
∴DG=DC\therefore DG=DC，∠GDC=60∘\angle GDC=60^{\circ}，
∵DE=DF\because DE=DF，∠EDF=60\angle EDF=60，
∴∠GDE=∠CDF=60∘−∠CDE\therefore \angle GDE=\angle CDF=60^{\circ}-\angle CDE，
在△GDE\triangle GDE和△CDF\triangle CDF中，
{DG=DC∠GDE=∠CDFDE=DF\left\{\begin{array}{l}{DG=DC}\\{∠GDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.，
∴△GDE\therefore \triangle GDE≌△CDF(SAS)\triangle CDF\left(SAS\right)，
∴GE=CF\therefore GE=CF，
∵CE+CF=CE+GE=CG\because CE+CF=CE+GE=CG，
∴CE+CF=CD\therefore CE+CF=CD，
故答案为：CE+CF=CDCE+CF=CD.
(3)(3)CE−CF=CDCE-CF=CD，
理由：如图33，在CBCB上截取CH=CDCH=CD，连接DHDH，
∵CH=CD\because CH=CD，∠DCH=60∘\angle DCH=60^{\circ}，
∴△DHC\therefore \triangle DHC是等边三角形，
∴DH=DC\therefore DH=DC，∠HDC=60∘\angle HDC=60^{\circ}，
∵DE=DF\because DE=DF，∠EDF=60∘\angle EDF=60^{\circ}，
∴∠HDE=∠CDF=60∘−∠FDH\therefore \angle HDE=\angle CDF=60^{\circ}-\angle FDH，
在△HDE\triangle HDE和△CDF\triangle CDF中，
{DH=DC∠HDE=∠CDFDE=DF\left\{\begin{array}{l}{DH=DC}\\{∠HDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.，
∴△HDE\therefore \triangle HDE≌△CDF(SAS)\triangle CDF\left(SAS\right)，
∴HE=CF\therefore HE=CF，
∵CE−CF=CE−HE=CH\because CE-CF=CE-HE=CH，
∴CE−CF=CD\therefore CE-CF=CD.

解析

(1)(1)证明：①∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60∘\therefore \angle ACB=60^{\circ}，
∵DE⊥BC\because DE\bot BC于点EE，
∴∠DEC=90∘\therefore \angle DEC=90^{\circ}，
∴∠CDE=90∘−∠ACB=30∘\therefore \angle CDE=90^{\circ}-\angle ACB=30^{\circ}，
∴CD=2CE\therefore CD=2CE.
②∵△DEF\because \triangle DEF是等边三角形，
∴DE=DF\therefore DE=DF，∠EDF=60∘\angle EDF=60^{\circ}，
∵∠CDE=30∘\because \angle CDE=30^{\circ}，
∴∠CDF=∠EDF−∠CDF=30∘\therefore \angle CDF=\angle EDF-\angle CDF=30^{\circ}，
∴∠CDE=∠CDF\therefore \angle CDE=\angle CDF，
∴CD\therefore CD垂直平分EFEF，
∴CE=CF\therefore CE=CF，
∴CE+CF=2CE\therefore CE+CF=2CE，
∵CD=2CE\because CD=2CE，
∴CE+CF=CD\therefore CE+CF=CD.
(2)(2)∵CG=CD\because CG=CD，∠DCG=60∘\angle DCG=60^{\circ}，
∴△DGC\therefore \triangle DGC是等边三角形，
∴DG=DC\therefore DG=DC，∠GDC=60∘\angle GDC=60^{\circ}，
∵DE=DF\because DE=DF，∠EDF=60\angle EDF=60，
∴∠GDE=∠CDF=60∘−∠CDE\therefore \angle GDE=\angle CDF=60^{\circ}-\angle CDE，
在△GDE\triangle GDE和△CDF\triangle CDF中，
{DG=DC∠GDE=∠CDFDE=DF\left\{\begin{array}{l}{DG=DC}\\{∠GDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.，
∴△GDE\therefore \triangle GDE≌△CDF(SAS)\triangle CDF\left(SAS\right)，
∴GE=CF\therefore GE=CF，
∵CE+CF=CE+GE=CG\because CE+CF=CE+GE=CG，
∴CE+CF=CD\therefore CE+CF=CD，
故答案为：CE+CF=CDCE+CF=CD.
(3)(3)CE−CF=CDCE-CF=CD，
理由：如图33，在CBCB上截取CH=CDCH=CD，连接DHDH，
∵CH=CD\because CH=CD，∠DCH=60∘\angle DCH=60^{\circ}，
∴△DHC\therefore \triangle DHC是等边三角形，
∴DH=DC\therefore DH=DC，∠HDC=60∘\angle HDC=60^{\circ}，
∵DE=DF\because DE=DF，∠EDF=60∘\angle EDF=60^{\circ}，
∴∠HDE=∠CDF=60∘−∠FDH\therefore \angle HDE=\angle CDF=60^{\circ}-\angle FDH，
在△HDE\triangle HDE和△CDF\triangle CDF中，
{DH=DC∠HDE=∠CDFDE=DF\left\{\begin{array}{l}{DH=DC}\\{∠HDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.，
∴△HDE\therefore \triangle HDE≌△CDF(SAS)\triangle CDF\left(SAS\right)，
∴HE=CF\therefore HE=CF，
∵CE−CF=CE−HE=CH\because CE-CF=CE-HE=CH，
∴CE−CF=CD\therefore CE-CF=CD.

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