如图$1$,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$\angle ABC=90^{\circ}$,点$D$为$\triangle ABC$外一点,连接$AD$,过点$A$作$AE\bot AD$,交$BC$于点$E$,过点$D$作$DH\bot AB$,垂足为$H$,$HD=BC$.
$(1)$求证:$AE=AD$；
$(2)$如图$2$,延长$AB$到点$G$,连接$GD$,使得$\angle HGD=\angle ADH$,$F$为$AC$上一点,连接$FG$、$FE$,若$FE\bot AE$.求证:$EF+GF=GD$；
$(3)$如图$3$,点$K$在$\triangle GHD$内,连接$KG$、$KH$、$KD$,当$KG+KH+KD$的值最小时,直接写出$\angle KGH+\angle KDH$的值.