【问题背景】利用方程解决实际问题是重要的思想方法.以面积寻找等量关系,求图形中线段的长度是解决一些几何问题的常见手段.
例如:如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD\bot AB$于点$D$,若$BC=3$,$AC=4$,$AB=5$,求斜边$AB$上的高$CD$的长.
利用$Rt\triangle ABC$的面积列出方程$\frac{1}{2}×5×CD=\frac{1}{2}×3×4$,求得$CD=\frac{12}{5}$.

【延伸应用】如图$2$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BC=3$,$AC=4$,$AB=5$,矩形$CEDF$在$\triangle ABC$内,其中点$D$在斜边$AB$上,$E$,$F$两点分别在直角边$AC$,$BC$上.
$(1)$若矩形$CEDF$是正方形,则矩形$CEDF$的面积为______$;(直接写出你的答案)$
$(2)$若矩形$CEDF$的两边之比为$1:2$,求矩形$CEDF$的面积.
【拓展探究】如图$3$,已知正方形$ABCD$面积为$18$,点$E$在$CB$的延长线上,连接$DE$交边$AB$于点$F$,若$BE=2\sqrt{2}$,求$AF$的长.