$\left(1\right)\because$点$A$表示的数是$1$，
$\therefore$点$A$到原点的距离$m=1$，
$\because$点$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$表示的数分别是$-2$，$2$，$4$，
$\therefore$点$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$到点$A$的距离$n$分别是$3$，$1$，$3$，
$\therefore n=m+2=1+2=3$，
$\therefore$点$A$关联点的是$B_{1}$、$B_{3}$；
故答案为：$B_{1}$、$B_{3}$；
$(2)$设点$D$表示的数是$x$，点$C$表示的数是$m$，
当点$D$位于原点左侧，点$C$位于原点右侧时，
根据定义得$m-x=m+2$，
解得$x=-2$，
$\therefore$点$D$表示的数是$-2$，
当点$D$位于原点右侧，点$C$位于原点左侧时，
根据定义得$x-m=-m+2$，
解得$x=2$，
$\therefore$点$D$表示的数是$2$，
$\therefore$点$D$表示的数是$\pm 2$；
故答案为：$\pm 2$；
$(3)$根据题意，得：点$P$表示数$6-t$，点$Q$表示数$-5+3t$，
当$P$和原点重合时，$6-t=0$，解得$t=6$，
当$Q$和原点重合时，$-5+3t=0$，解得$t=\frac{5}{3}$，
当$P$和$Q$重合时，$6-t=-5+3t$，解得$t=\frac{11}{4}$，
①当$0＜t＜\frac{5}{3}$时，
$\therefore m=6-t$，$n=\left(6-t\right)-\left(-5+3t\right)=11-4t$，
$\because n=m+2$，
$\therefore 11-4t=6-t+2$，
解得：$t=1$；
②当$\frac{5}{3}≤t≤\frac{11}{4}$时，
$\therefore m=6-t$，$n=\left(6-t\right)-\left(-5+3t\right)=11-4t$，
$\because n=m+2$，
$\therefore 11-4t=6-t+2$，
解得：$t=1(不符合题意，舍去)$；
③当$\frac{11}{4}＜t≤6$时，
$\therefore m=6-t$，$n=\left(-5+3t\right)-\left(6-t\right)=4t-11$，
$\because n=m+2$，
$\therefore 4t-11=6-t+2$，
解得：$t=\frac{19}{5}$，
④当$t \gt 6$时，
$\therefore m=-6+t$，$n=\left(-5+3t\right)-\left(6-t\right)=4t-11$，
$\because n=m+2$，
$\therefore 4t-11=-6+t+2$，
解得：$t=\frac{7}{3}($不符合题意，舍去），
综上所述，$t$的值为$1$或$\frac{19}{5}$.

$\left(1\right)\because$点$A$表示的数是$1$，
$\therefore$点$A$到原点的距离$m=1$，
$\because$点$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$表示的数分别是$-2$，$2$，$4$，
$\therefore$点$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$到点$A$的距离$n$分别是$3$，$1$，$3$，
$\therefore n=m+2=1+2=3$，
$\therefore$点$A$关联点的是$B_{1}$、$B_{3}$；
故答案为：$B_{1}$、$B_{3}$；
$(2)$设点$D$表示的数是$x$，点$C$表示的数是$m$，
当点$D$位于原点左侧，点$C$位于原点右侧时，
根据定义得$m-x=m+2$，
解得$x=-2$，
$\therefore$点$D$表示的数是$-2$，
当点$D$位于原点右侧，点$C$位于原点左侧时，
根据定义得$x-m=-m+2$，
解得$x=2$，
$\therefore$点$D$表示的数是$2$，
$\therefore$点$D$表示的数是$\pm 2$；
故答案为：$\pm 2$；
$(3)$根据题意，得：点$P$表示数$6-t$，点$Q$表示数$-5+3t$，
当$P$和原点重合时，$6-t=0$，解得$t=6$，
当$Q$和原点重合时，$-5+3t=0$，解得$t=\frac{5}{3}$，
当$P$和$Q$重合时，$6-t=-5+3t$，解得$t=\frac{11}{4}$，
①当$0＜t＜\frac{5}{3}$时，
$\therefore m=6-t$，$n=\left(6-t\right)-\left(-5+3t\right)=11-4t$，
$\because n=m+2$，
$\therefore 11-4t=6-t+2$，
解得：$t=1$；
②当$\frac{5}{3}≤t≤\frac{11}{4}$时，
$\therefore m=6-t$，$n=\left(6-t\right)-\left(-5+3t\right)=11-4t$，
$\because n=m+2$，
$\therefore 11-4t=6-t+2$，
解得：$t=1(不符合题意，舍去)$；
③当$\frac{11}{4}＜t≤6$时，
$\therefore m=6-t$，$n=\left(-5+3t\right)-\left(6-t\right)=4t-11$，
$\because n=m+2$，
$\therefore 4t-11=6-t+2$，
解得：$t=\frac{19}{5}$，
④当$t \gt 6$时，
$\therefore m=-6+t$，$n=\left(-5+3t\right)-\left(6-t\right)=4t-11$，
$\because n=m+2$，
$\therefore 4t-11=-6+t+2$，
解得：$t=\frac{7}{3}($不符合题意，舍去），
综上所述，$t$的值为$1$或$\frac{19}{5}$.