如图,点$M$,$N$分别是边长为$8cm$的等边$\triangle ABC$边$AC$,$BC$上的动点,点$M$从顶点$A$沿$AC$向点$C$运动,点$N$同时从顶点$C$沿$CB$向点$B$运动,它们的速度都为$1cm/s$,当到达终点时停止运动,设它们的运动时间为$t$秒,连接$AN$,$BM$交于点$D$.
$(1)$如图甲,求证:$\triangle BAM$≌$\triangle ACN$；
$(2)$如图乙,连接$CD$,若$CD\bot BM$,探究$BD$与$AD$之间的数量关系,并证明；
$(3)$如图丙,在点$M$,$N$运动的过程中,是否存在以点$M$,$N$,$C$为顶点的三角形是直角三角形的情况,若存在,请直接写出对应的运动时间$t$的值；若不存在,请说明理由.