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八年级数学解答题一般
题目
如图,点MM,NN分别是边长为8cm8cm的等边△ABC\triangle ABC边ACAC,BCBC上的动点,点MM从顶点AA沿ACAC向点CC运动,点NN同时从顶点CC沿CBCB向点BB运动,它们的速度都为1cm/s1cm/s,当到达终点时停止运动,设它们的运动时间为tt秒,连接ANAN,BMBM交于点DD.
(1)(1)如图甲,求证:△BAM\triangle BAM≌△ACN\triangle ACN；
(2)(2)如图乙,连接CDCD,若CD⊥BMCD\bot BM,探究BDBD与ADAD之间的数量关系,并证明；
(3)(3)如图丙,在点MM,NN运动的过程中,是否存在以点MM,NN,CC为顶点的三角形是直角三角形的情况,若存在,请直接写出对应的运动时间tt的值；若不存在,请说明理由.
知识点：三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵\because点MM从顶点AA沿ACAC向点CC运动，点NN同时从顶点CC沿CBCB向点BB运动，它们的速度都为lcm/slcm/s，
∴AM=CN\therefore AM=CN，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，∠BAC=∠C=60∘\angle BAC=\angle C=60^{\circ}，
在△BAM\triangle BAM与△ACN\triangle ACN中，
{AB=AC∠BAC=∠CAM=CN\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.，
∴△BAM\therefore \triangle BAM≌△ACN(SAS)\triangle ACN\left(SAS\right)；
(2)(2)BD=2ADBD=2AD，
理由如下：在BDBD上截取BH=ADBH=AD，

∵△BAM\because \triangle BAM≌△ACN\triangle ACN，
∴∠ABM=∠CAN\therefore \angle ABM=\angle CAN，
在△ABH\triangle ABH与△CAD\triangle CAD中，
{AB=AC∠ABH=∠CADBH=AD\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABH=∠CAD}\\{BH=AD}\end{array}\right.，
∴△ABH\therefore \triangle ABH≌△CAD(SAS)\triangle CAD\left(SAS\right)，
∴∠AHB=∠CDA\therefore \angle AHB=\angle CDA，
∵∠BDN=∠BAN+∠ABM\because \angle BDN=\angle BAN+\angle ABM，∠ABM=∠CAN\angle ABM=\angle CAN，
∴∠BDN=∠BAN+∠CAN=∠BAC=60∘\therefore \angle BDN=\angle BAN+\angle CAN=\angle BAC=60^{\circ}，
∵CD⊥BM\because CD\bot BM，
∴∠BDN+∠CDN=90∘\therefore \angle BDN+\angle CDN=90^{\circ}，
∴∠CDN=30∘\therefore \angle CDN=30^{\circ}，
∵∠AHD+∠AHB=180∘\because \angle AHD+\angle AHB=180^{\circ}，∠CDA+∠CDN=180∘\angle CDA+\angle CDN=180^{\circ}，∠CDA=∠AHD\angle CDA=\angle AHD，
∴∠CDN=∠AHD=30∘\therefore \angle CDN=\angle AHD=30^{\circ}，
∵∠BDN=∠AHD+∠DAH\because \angle BDN=\angle AHD+\angle DAH，
∴∠DAH=30∘\therefore \angle DAH=30^{\circ}，
∴∠AHD=∠DAH\therefore \angle AHD=\angle DAH，
∴AD=DH\therefore AD=DH，
又∵AD=BH\because AD=BH，
∴BD=2AD\therefore BD=2AD；
(3)(3)存在.t=83t=\frac{8}{3}或t=163t=\frac{16}{3}，
理由如下，
由题意可得，AC=8AC=8，AM=CN=tAM=CN=t，
∴CM=8−t\therefore CM=8-t，
∵\because以点MM，NN，CC为顶点的三角形是直角三角形，
当∠CMN=90∘\angle CMN=90^{\circ}时，
∵∠ABC=60∘\because \angle ABC=60^{\circ}，
∴∠MNC=30∘\therefore \angle MNC=30^{\circ}，
∴MC=12CN=12t\therefore MC=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}t，
即12t=8−t\frac{1}{2}t=8-t，
解得：t=163t=\frac{16}{3}，
当∠CNM=90∘\angle CNM=90^{\circ}，
∵∠ABC=60∘\because \angle ABC=60^{\circ}，
∴∠NMC=30∘\therefore \angle NMC=30^{\circ}，
∴MC=2CN=2t\therefore MC=2CN=2t，
即：2t=8−t2t=8-t，
解得：t=83t=\frac{8}{3}，
综上所述，t=83t=\frac{8}{3}或163\frac{16}{3}时，以点MM，NN，CC为顶点的三角形是直角三角形.

解析

(1)(1)证明：∵\because点MM从顶点AA沿ACAC向点CC运动，点NN同时从顶点CC沿CBCB向点BB运动，它们的速度都为lcm/slcm/s，
∴AM=CN\therefore AM=CN，
∵△ABC\because \triangle ABC是等边三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，∠BAC=∠C=60∘\angle BAC=\angle C=60^{\circ}，
在△BAM\triangle BAM与△ACN\triangle ACN中，
{AB=AC∠BAC=∠CAM=CN\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.，
∴△BAM\therefore \triangle BAM≌△ACN(SAS)\triangle ACN\left(SAS\right)；
(2)(2)BD=2ADBD=2AD，
理由如下：在BDBD上截取BH=ADBH=AD，

∵△BAM\because \triangle BAM≌△ACN\triangle ACN，
∴∠ABM=∠CAN\therefore \angle ABM=\angle CAN，
在△ABH\triangle ABH与△CAD\triangle CAD中，
{AB=AC∠ABH=∠CADBH=AD\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABH=∠CAD}\\{BH=AD}\end{array}\right.，
∴△ABH\therefore \triangle ABH≌△CAD(SAS)\triangle CAD\left(SAS\right)，
∴∠AHB=∠CDA\therefore \angle AHB=\angle CDA，
∵∠BDN=∠BAN+∠ABM\because \angle BDN=\angle BAN+\angle ABM，∠ABM=∠CAN\angle ABM=\angle CAN，
∴∠BDN=∠BAN+∠CAN=∠BAC=60∘\therefore \angle BDN=\angle BAN+\angle CAN=\angle BAC=60^{\circ}，
∵CD⊥BM\because CD\bot BM，
∴∠BDN+∠CDN=90∘\therefore \angle BDN+\angle CDN=90^{\circ}，
∴∠CDN=30∘\therefore \angle CDN=30^{\circ}，
∵∠AHD+∠AHB=180∘\because \angle AHD+\angle AHB=180^{\circ}，∠CDA+∠CDN=180∘\angle CDA+\angle CDN=180^{\circ}，∠CDA=∠AHD\angle CDA=\angle AHD，
∴∠CDN=∠AHD=30∘\therefore \angle CDN=\angle AHD=30^{\circ}，
∵∠BDN=∠AHD+∠DAH\because \angle BDN=\angle AHD+\angle DAH，
∴∠DAH=30∘\therefore \angle DAH=30^{\circ}，
∴∠AHD=∠DAH\therefore \angle AHD=\angle DAH，
∴AD=DH\therefore AD=DH，
又∵AD=BH\because AD=BH，
∴BD=2AD\therefore BD=2AD；
(3)(3)存在.t=83t=\frac{8}{3}或t=163t=\frac{16}{3}，
理由如下，
由题意可得，AC=8AC=8，AM=CN=tAM=CN=t，
∴CM=8−t\therefore CM=8-t，
∵\because以点MM，NN，CC为顶点的三角形是直角三角形，
当∠CMN=90∘\angle CMN=90^{\circ}时，
∵∠ABC=60∘\because \angle ABC=60^{\circ}，
∴∠MNC=30∘\therefore \angle MNC=30^{\circ}，
∴MC=12CN=12t\therefore MC=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}t，
即12t=8−t\frac{1}{2}t=8-t，
解得：t=163t=\frac{16}{3}，
当∠CNM=90∘\angle CNM=90^{\circ}，
∵∠ABC=60∘\because \angle ABC=60^{\circ}，
∴∠NMC=30∘\therefore \angle NMC=30^{\circ}，
∴MC=2CN=2t\therefore MC=2CN=2t，
即：2t=8−t2t=8-t，
解得：t=83t=\frac{8}{3}，
综上所述，t=83t=\frac{8}{3}或163\frac{16}{3}时，以点MM，NN，CC为顶点的三角形是直角三角形.

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